Demostrar la desigualdad $a<1<b<3<c<4$

Question

Dadas $a,b,c$ son positivas número satisfacer $a<b<c;a+b+c=6;ab+bc+ca=9$. Demostrar que $a<1<b<3<c<4$

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Creo que la calidad de uso: "las soluciones de la función $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ satisfacen $a\le x_1\le b\le x_2\le c$ $x_1,x_2\ (x_1<x_2)$ extremo de $f(x)$".

Ayúdame

Answer 1

Su idea es correcta. $a, b, c$ son los ceros de f(x)=(x-a)(x-b)(x-c) $$ = x ^ 3-6 x ^ 2 + 9 x - Teorema de abc $$ Rolles establece que $f'$ tiene un cero en cada intervalo de $(a, b)$ y $(b, c)$. Pero f $ ' = 3 x ^ 2-12 x + 9 = 3(x-1)(x-3) $$ tiene ceros $x_1=1$ y $x_2=3$. Sigue eso $$ un < x_1 = 1 < b < x_2 = 3 < c \,. $$

Queda por demostrar que $c < 4$: $f$ cambios de signos en los ceros $a, b, c$ y $f(4) = 4 - abc = f(1)$. Por lo tanto $4$ debe estar en el intervalo $(c, \infty)$.

Answer 2

Deje $abc=w^3$.

Por el Martin idea vemos que $a$, $b$ y $c$ son raíces de la ecuación

$$w^3=f(x),$$ donde $f(x)=x(x-3)^2$.

Dibuja una gráfica de $f$ y el gráfico de la línea de $y=w^3$,

que corta a la gráfica de $f$ en los tres siguientes puntos

$A(a,f(a))$, $B(b,f(b))$ y $C(c,f(c))$.

Desde $$f'(x)=3(x-1)(x-3),$$ vemos que $0<a<x_{max}<b<x_{min}<c$.

Pero $x_{max}=1$$x_{min}=3$, lo que da $0<a<1<b<3<c$.

En la otra mano $c$ obtiene un valor máximo, cuando $w^3$ obtiene un valor máximo,

lo que sucede por $a\rightarrow b\rightarrow1$, lo que da $c<4$ y hemos terminado!

Answer 3

Si expande la función de $f(x)$, se obtiene una paramétrico polinomio. Algunos de sus coeficientes se dan en la pregunta. Solo tienes que conectarlos en y, a continuación, su polinomio sólo tendría un desconocido coeficiente. A continuación, tomar la derivada y encontrar los extremos locales de la función. Te gustaría saber los extremos no dependen de lo desconocido coeficiente y son números fijos. Como $a$ es el más pequeño de la raíz de $f(x)$, no puede ser mayor que el primer extremo. Porque, si $a$ es mayor que o igual a la primera extrema, entonces no tendríamos todas las raíces (que puede tener un máximo de dos raíces). El mismo razonamiento puede ser aplicado al resto. considere la posibilidad de un mal caso y la prueba de que no es cierto.