Una pregunta sobre la función totiente de Euler

Question

Demostrar que para todo número natural $m$ existe un número natural $n$ tal que $$\phi(n)=\phi(n+m)$$

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Para los números de impar $m$ podemos elegir $n=m$ y utilizar la identidad $\phi(2m)=\phi(m)$ .

Answer 1

El método proporcionado para los números Impares se puede generalizar de forma concisa. Elija $m$ y que $p$ sea el menor primo que no divide $m$ , lo que implica $\phi(pm) = (p-1)\phi(m)$ . Ahora bien, como los factores primos $p-1$ son todos factores primos de $m$ debemos tener $\phi((p-1)m) = (p-1)\phi(m)$ . Así, puede elegir $n = (p-1)m$ .