Si $A,B,C$ son no singulares, por lo que también lo son $A\sin(t)+B\cos(t)+C$ para un verdadero $t$

Question

Mientras intentaba responder a otra pregunta en este sitio, descubrí que necesitaba la siguiente afirmación:

Si $A,B,C$ son matrices complejas no singulares del mismo tamaño, entonces $A\sin(t)+B\cos(t)+C$ es no singular para algún número real $t$ .

Evidentemente, podemos suponer que $A$ es la matriz de identidad y $B+C$ está en la forma normal de Jordania. Entonces $A\sin(t)+B\cos(t)+C=tI+(B+C)+O(t^2)$ . La afirmación es clara si $B+C=0$ . Utilizando el complemento de Schur, podemos entonces demostrar la afirmación para el caso en que $B+C$ es un único bloque de Jordan nilpotente, y luego para el caso en que $B+C$ es una matriz nilpotente, y finalmente para el caso general.

Sin embargo, tal prueba parece demasiado tediosa. ¿Hay alguna prueba concisa? Dado que tengo la intención de utilizar esta afirmación como parte de un elemental La prueba de otra afirmación del problema, la prueba de esta afirmación es preferiblemente elemental también.

Answer 1

Resulta que el enunciado del problema es falso. Considere $$ A=I_2,\ B=\pmatrix{0&-1\\ 1&0},\ C=\pmatrix{0&1\\ 1&0}. $$ Estas tres matrices son no singulares, pero $$ A\sin(t)+B\cos(t)+C = \pmatrix{\sin t& 1-\cos t\\ 1+\cos t&\sin t} $$ siempre tiene determinante cero. Intenté verificar la afirmación en el $2\times2$ caso antes de publicar la pregunta. Desgraciadamente me he equivocado y he pensado que la respuesta para ese caso es afirmativa.