Que $u \in L^2(0,1)$. Si $$u'' \in L^2(0,1)$ $ es verdad $$u' \in L^2(0,1)?$ $ ¿por qué sí/no? Si $u, u'' \in L^2(0, 1)$ implica que el $u' \in L^2(0,1)$, ¿cómo puedo mostrar que $u' \in L^2(0,1)$?
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Como se indica en los comentarios, esto desprende una desigualdad mucho más general. De todos modos, en el $L^2$ las cosas de contexto son bastante fáciles sujeto a explotación series de Fourier. Suponiendo que $u,u''\in L^2(0,1)$ se deduce que: $$ u(x) = M + \sum_{n\geq 1}\left( a_n \sin(2\pi nx)+ b_n \cos(2\pi nx)\right), $ $ $$ u'(x) = \sum_{n\geq 1}2\pi n\left( a_n \cos(2\pi nx)- b_n \sin(2\pi nx)\right), $ $ $$ u''(x) = -\sum_{n\geq 1}(2\pi n)^2\left( a_n \sin(2\pi nx)+ b_n \cos(2\pi nx)\right), $ $ como: $$ \|u\|_2^2 = M^2 + \frac{1}{2}\sum_{n\geq 1}\left(a_n^2+b_n^2\right), $ $ $$ \|u'\|_2^2 = \frac{1}{2}\sum_{n\geq 1}4\pi^2 n^2\left(a_n^2+b_n^2\right), $ $ $$ \|u''\|_2^2 = \frac{1}{2}\sum_{n\geq 1}16\pi^4 n^4\left(a_n^2+b_n^2\right), $ $ para $u'\in L^2(0,1)$ solo sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Reto Meier
Puntos
55904
Para cualquier sentido razonable de la palabra "derivada", debería tener, para un % constante $c$(% pienso $c = u'(0)$): $$u'(x) = c + \int_0^x u''(t)\,dt \quad \text{for a.e. $x $}.$ $ desde $u'' \in L^2(0,1) \subset L^1(0,1)$ (Cauchy-Schwarz), se deduce que $u'$ está limitado (o más correctamente, es e.a. igual a una función acotada). Así que es definitivamente en $L^2$. Del teorema de convergencia dominada, se desprende también que el % es de $u'$(a.e. igual a) una función continua. De hecho, es absolutamente continua.
