¿Este diofánticas cúbicos tiene soluciones?

Question

Estoy interesada en saber si $$ 2x^3-1=z^3 $$ tiene cualquier entero positivo soluciones. Tiene soluciones de mod $m$$m\le10^7$, por lo que parece poco probable que modular significa que sería suficiente para probar que no hay soluciones. Por otro lado no soy capaz de encontrar alguna solución para $x<10^9$.

Estoy seguro de que este es un problema de rutina, pero no sé las técnicas. Ayuda?

Aplicación: estaba leyendo acerca de la cerca de Fermat triples $x^3+y^3=z^3+1$ cuando la restricción $x<y<z$ fue dado en lugar de $x\le y<z$, y me preguntaba si los excluidos caso fue posible.

Answer 1

Euler dio un elemental prueba de que no hay soluciones no triviales. (En realidad, él resolvió el más general de la ecuación de $y^3+z^3=2x^3$.)

De haber preguntado esto antes (ver soluciones Racionales de $x^3+y^3=2$) me fue señalado en el Capítulo II, pg 78 aquí: http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?wyd=10&tom=42&jez=en.

Si usted está interesado (parcialmente) resolver la ecuación de ti mismo, las sustituciones realizadas en el principio podría permitir que usted para proceder a la prueba.

Answer 2

Algunos puntos:

Máximo común divisor: Si $g=gcd(x,y)$, $1=2x^3-z^3$ sabemos que $g^3|1$ o $g=1$ $x$ $y$ son relativos prime.

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Paridad: Desde $2x^3$ es par y 1 es impar, $z^3$ es impar y $z$ es impar.

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Factores de z: Si $p|z$, lo $p^3|z^3=2x^3-1$ por lo tanto $2x^3\equiv 1 \pmod {p^3}$. Equipo de búsqueda muestra $y$ no es divisible por ninguno de $\{2, 3, 7, 13, 19, 37, 61, 67, 73, 79, 97\}$.

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La resolución de la mod de los primos de uso de equipo: De esto he encontrado algunos resultados que pueden ayudar en la resolución de problemas o fuerza bruta el problema: $x\equiv 0,1,2 ,4 \pmod7$, $x\equiv 0,1,3,9 \pmod{13}$, $x\equiv 0,1,7,11\pmod{19}$,