Pruebalo $|a+b|^p \leq 2^p \{ |a|^p +|b|^p \}$

Question

Para cualquier números reales $a$ y $b$ y $1 \leq p < \infty$, demostrar que

$$|a+b|^p \leq 2^p \{ |a|^p +|b|^p \}$$

Esta desigualdad se da en la página del libro análisis por Royden, capítulo $7$, $136$. No entiendo cómo el autor llega a esta desigualdad. ¿Alguien puede dar algunos consejos?

Answer 1

Puede ser muy simple: vamos a $c=\max\{|a|,|b|\}$, de modo que $$ |a+b|\leq |a|+|b|\leq 2c\implica a |a+b|^p\leq (2c)^p=2^p(c^p)\leq 2^p(|a|^p+|b|^p). $$ De hecho, sólo se necesita $p\geq 0$.

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Edit: Como Winther indica en otro lugar en este hilo, $p\geq 1$ da más resultado. Me voy a dar una prueba de uso de la convexidad de una función diferente de la que él sugiere. Deje $g(x)=x^p$ definido en $[0,\infty)$$m=|a|$$n=|b|$. Nos gustaría probar $|a+b|^p\leq 2^{p-1}(|a|^p+|b|^p)$. Por la desigualdad de triángulo de arriba, es suficiente para mostrar \begin{align*} (m+n)^p\leq 2^{p-1}(m^p+n^p)&\iff\left(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n\right)^p\leq\frac{1}{2}m^p+\frac{1}{2}n^p\\ &\iff g\left(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n\right)\leq\frac{1}{2}g(m)+\frac{1}{2}g(n) \end{align*} lo cual es cierto, debido a la convexidad de $g$. Es aquí que tenemos $p\geq 1$.

Answer 2

Sugerencia:

Una función convexa siempre satisfacer $$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x) + (1-t)f(y),~~~~~~~t\in[0,1]$ $

Tomar las $f(x) = |x|^p$, demostrar que es convexo para $p\geq 1$ (por ejemplo, el criterio de la derivada segunda) y buscar un adecuado valor de $t$.

Esto da la desigualdad un poco mejor: $|a+b|^p \leq 2^{p-1}(|a|^p + |b|^p)$.