¿Cuál es el más pequeño y más grandes los valores posibles para la varianza?

Question

Supongamos que $P( X \in \{1,2,3\}) = 1$ y $E(X) =2.5.$

¿Cuál es el más pequeño y más grandes los valores posibles para la varianza?

Mi entender: por lo que entiendo es varianza encuentra la distancia entre cada elemento y la media. Por lo que el más cercano es de 2 a e (x) más 1 y 3 puede ser de e (x). Pero no tengo ninguna pista cómo obtener esto...

Answer 1

Aunque las dos cosas son iguales, creo que es más fácil utilizar la $$\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}\Big[(X-\mathbb{E}X)^2\Big]$$ en lugar de $\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}X^2-(\mathbb{E}X)^2$.

Deje $\mathbb{P}[X=i]=p_i$, luego

\begin{align} \operatorname{Var}(X) &= \mathbb{E}\Big[(X-\mathbb{E}X)^2\Big] \\ &= \sum_{i \in \{1,2,3\}}(i-2.5)^2 \cdot p_i \\ &= (-1.5)^2\cdot p_1 + (-0.5)^2 \cdot p_2 + (0.5)^2 p_3 \\ &= 2.25\cdot p_1 + 0.25\cdot p_2 + 0.25\cdot p_3. \tag{%#%#%} \end{align}

Maximizar y minimizar este bajo restricciones $\spadesuit$ $p_1+p_2+p_3=1$ es simple, debido a que los pesos de $1\cdot p_1 + 2\cdot p_2 + 3\cdot p_3 = 2.5$ $p_2$ son iguales y ambos son de $p_3$ lejos de la media:

• Para minimizar la varianza de mover todos la probabilidad de masas , lejos de la $0.5$ –distribuir todo entre $p_1$ $p_2$ en una manera que le da la correcta del valor esperado.
• Para maximizar la varianza mover la probabilidad de masas tanto como sea posible a $p_3$. Para lograr el correcto valor esperado tienes que tener un poco de contrapeso en $p_1$, pero $p_3$ debe ser igual a cero.

Teniendo en cuenta los dos puntos, la fórmula marcada por $p_2$ tiene una buena intuición: para minimizar la varianza, mover la probabilidad de masas tanto como sea posible en la dirección de la media. Para maximizar la varianza hacer lo contrario – mover la probabilidad de masas, lejos de la media.

Espero que esto ayude a $(\spadesuit)$

Answer 2

Deje que las probabilidades de ser $P(X = x_i)$ $p_i$ para los valores de $i$ $\{1,2,3\}$

Entonces

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$

$p_1 + 2p_2 + 3p_3 = 2.5$ ($E(X) = 2.5$)

y necesitamos maximizar/minimizar $p_1 +4p_2 + 9p_3 - 6.25$ ($V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$)

Espero que esto le da un comienzo. Este es un problema de programación lineal, por lo que el mínimo y el máximo puede llegar a los puntos de límite

Este problema se puede resolver de forma más intuitiva, sin el uso de todos estos símbolos y limitaciones.

La intuición, como se indica por Henry en su comentario viene de

(1) Máxima Varianza -- en los puntos finales, a fin de poner $p_2 = 0$, $p_1 = \frac{1}{4}$ $p_3 = \frac{3}{4}$ $\color{blue}{V_{max} = 0.75}$

y

(2) varianza Mínima -- tienen puntos de datos cerca de media, por lo $p_1 = 0$ $p_2 = p_3 = \frac{1}{2}$ $\color{blue}{V_{min} = 0.25}$

Answer 3

Deje $P(X=i)=p_i$ donde$i=1,2,3$$p_1+p_2+p_3=1$.

$E(X)=2.5$ da $p_1+2p_2+3p_3=2.5$.

Además, $Var(X)=2.25p_1+0.25p_2+0.25p_3=2.25p_1+0.25(1-p_1)=2p_1+0.25$

Ahora note que $p_2+2p_3=1.5$ a partir de la resta de la primera de las dos ecuaciones, por lo tanto $p_2=1.5-2p_3$. Esta muestra $p_1=1-p_2-p_3=1-1.5+2p_3-p_3=-0.5+p_3$

Por lo que la región factible es $(p_1,p_2,p_3)=(p_3-0.5,1.5-2p_3,p_3)$

Ahora desde $p_i\in(0,1)$ para todos los $i$, $p_3-0.5>0$ implica $p_3>0.5$ más $1.5-2p_3>0$ implica $p_3<0.75$ $1.5-2p_3<1$ implica $p_3>0.25$. Por lo que el intervalo de $p_3$$(0.5,0.75)$.

Ahora la escritura $p_1$ en términos de $p_3$ en la variación de forma, $2p_1+0.25=2p_3-1+0.25=2p_3-0.75$.

Por tanto, esta es la máxima de $p_3=0.75$ es decir $Var_{max}=2\times 0.75-0.75=0.75$ y este es el mínimo para $p_3=0.5$ es decir $Var_{min}=2\times0.5-0.75=0.25$.

Hay que ir!

Answer 4

Que $p=\mathsf P(X\in\{1\}), q=\mathsf P(X\in\{2\})$

$\begin{align}2.5 ~=~& \mathsf E(X) \\ =~& p+2q+3(1-p-q)\\ =~& 3-2p-q \\ \therefore~q~=~&0.5-2p\end{align}$

Así $0\leq p\leq 1, 0\leq 0.5 -2p\leq 1$ y $0\leq 1-p-0.5+2p\leq 1$, significado

$$\therefore~~0\leq p\leq 0.25$$

Ahora que uso y $\mathsf {Var}(X)= p+4q+9(1-p-q)-(2.5)^2 = 2p+0.25$ para encontrar la varianza mínima y máxima.