¿Por qué tiene la siguiente igualdad? $$n!=\sum_{k=1}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} k^n$ $ (He comprobado con mathematica es cierto para n < 1000.)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Mhenni Benghorbal
Puntos
1
Recordando la identidad
$$ \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} =\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j} j^n , $$
donde $ \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} $ es los números de Stirling de segunda especie. Ahora, sustituyendo $k=n$ en la identidad anterior da el resultado deseado
$$ \left\{\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right\}=1 =\frac{1}{n!}\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}{n \choose j} j^n \implies n!= \sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}{n \choose j} j^n. $$
Para ello se utiliza el complemento de la versión de inclusión-exclusión principio (Enlace a Wikipedia, la fórmula copiada de la Wikipedia)
$$ \biggl|\bigcap_{i=1}^n \bar{A_i}\biggr| = \biggl|S - \bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| = \left| S \right|\; - \sum_{i=1}^n\left|A_i\right|\; +\sum_{1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right|\; -\; \ldots\ +\; \left(-1\right)^{n} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right| $$
Para esta pregunta, considere si fuéramos a permutar los números de 1 a $n$. Obviamente lado izquierdo $n!$ denota el número de permutaciones.
Si dejamos $A_i$ el conjunto de $n$-longitud de las secuencias que no tienen $i$s ( $i = 1 \ldots\ n$ ), y $\bar{A_i}$ el conjunto de $n$-longitud de las secuencias que tienen algunos $i$s, entonces la intersección de a $\bigcap_{i=1}^n \bar{A_i}$ da todas las secuencias que tienen algunos 1s, algunos 2s, ..., algunos $n$s. En otras palabras, la intersección que se da a todos los $n$-longitud de permutaciones.
Y cuando simplificamos el lado derecho de la fórmula anterior, obtenemos el lado derecho de su pregunta, donde el primer término es de $k = n$ y en el último segundo término para $k = 1$. El último término de la fórmula anterior es cero en este caso.
