Una propiedad que trata de espacios métricos completos

Question

Me encontré con una propiedad en un libro de texto que me llamó la atención. La propiedad es: Si$X$ es un espacio métrico completo, entonces la intersección de dos densos$G_{\delta}$ - subconjuntos de$X$ es densa en$X$.

Esta propiedad parece simple, pero estoy teniendo problemas para averiguar la prueba. ¿Puede alguien ayudarme en este?

Answer 1

Esto es una consecuencia inmediata del teorema de la categoría Baire y el hecho de que si$G$ es un$G_\delta$ en$X$, entonces$G=\bigcap_{n\in N}U_n$ para algunos conjuntos abiertos$U_n$ in $X$, y si además$G$ es denso en$X$, también lo es cada uno de los conjuntos$U_n$.