¿Qué es el momento de una variable aleatoria conjunta?

Question

Una pregunta sencilla, pero sorprendentemente difícil de encontrar una respuesta en Internet.

Sé que para un RV $X$ definimos el momento k como $$\int X^k \ d P = \int x^k f(x) \ dx$$ donde la igualdad se da si $p = f \cdot m$ para una densidad $f$ y la medida de Lebesgue $m$ .

Entonces, ¿cuál es el momento k de, digamos, $(X,Y)$ ? $\int (X,Y) \ d P$ no me parece la respuesta ....

Answer 1

No hay un "el" con respecto a los momentos, ya que hay muchos de ellos, pero los momentos de las variables bivariadas están indexados por dos índices, no uno.

Así que en lugar de $k$ -en el momento, $\mu_k$ tienes $(j,k)$ -en los momentos en los que se produce, $\mu_{j,k}$ (a veces escrito $\mu_{jk}$ cuando no es ambiguo). Podemos hablar de $\mu_{1,1}$ El $(1,1)$ momento o $\mu_{1,2}$ El $(1,2)$ momento, o $\mu_{2,2}$ y así sucesivamente.

A veces se denominan momentos mixtos.

Así que generalizando tu ejemplo continuo unidimensional,

$\mu_{j,k} = \int\int x^j y^k f(x,y) \, dx dy$

Esto se generaliza a dimensiones más altas.

Answer 2

Como ha mencionado @Glen_b, el momento se generalizó a momento cruzado (relacionar conceptos: función generadora de momentos conjuntos , función característica conjunta y cumulante ) en dimensiones superiores.

Dicho esto, a mí esta definición no me parece un equivalente al momento univariante, porque el momento cruzado se evalúa a un número real, pero para, digamos, un vector normal multivariante, la media es un vector y la varianza es una matriz. I especular que se podrían definir "momentos" de mayor dimensión utilizando derivadas de la función característica conjunta $\varphi_\mathbf{X}(\mathbf{t})=E[e^{i\mathbf{t}'\mathbf{X}}]$ , aquí las derivadas se generalizan usando rank- $k$ tensores (por lo que la derivada de segundo orden sería una matriz hessiana).

Hay muchos otros temas interesantes relacionados, como: Medidas de asimetría y curtosis multivariantes con aplicaciones .