En primer lugar, debemos afirmar el marco general. Tenemos un lenguaje con símbolos de relación y símbolos de función y constantes, etc. Con este lenguaje podemos escribir frases y fórmulas.
Decimos que $T$ es un teoría si se trata de una colección de frases en un determinado idioma, a menudo exigimos que $T$ es consistente.
Si $T$ es una teoría de primer orden, signifique lo que signifique, entonces podemos aplicar el teorema de completitud de Goedel y sabemos que $T$ es consistente si y sólo si tiene un modelo, es decir, una interpretación del lenguaje de tal manera que todas las frases en $T$ son verdaderos en una interpretación específica.
El mismo teorema también nos dice que si tenemos alguna sentencia $\varphi$ en el mismo idioma, entonces $T\cup\{\varphi\}$ es consistente si y sólo si tiene un modelo. Vamos más allá para notar que si podemos probar $\varphi$ de $T$ entonces $\varphi$ es cierto en todos los modelos de $T$ .
Por otro lado, sabemos que si $T$ es consistente no puede demostrar una contradicción. En particular, si demuestra $\varphi$ no puede demostrar $\lnot\varphi$ y si ambos $T\cup\{\varphi\}$ y $T\cup\{\lnot\varphi\}$ son consistentes, entonces ni $\varphi$ ni $\lnot\varphi$ se puede demostrar a partir de $T$ .
Cuando decimos que CH es indemostrable a partir de ZFC queremos decir que existe un modelo de ZFC+CH y existe un modelo de ZFC+ $\lnot$ CH [1]. Del mismo modo, existen modelos de ZF+AC y modelos de ZF+ $\lnot$ AC.
Ahora podemos considerar un modelo específico de $T$ . En dicho modelo hay cosas que son verdaderas, por ejemplo en un modelo dado de ZF el axioma de elección es verdadero o falso, y de forma similar la hipótesis del continuo. Ambas afirmaciones son verdaderas (o falsas) en un modelo dado, pero no pueden demostrarse a partir de la propia ZF.
Algunas teorías, como los Axiomas de Peano tratados como la teoría de los números naturales, tienen un modelo canónico. Es posible que la conjetura de Goldbach sea verdadera en el modelo canónico, y por lo tanto podemos considerarla como verdadera en algunos aspectos, pero la frase en sí es falsa en un modelo diferente, no canónico. Esto provocaría que la conjetura de Goldbach se convirtiera en indemostrable desde PA, aunque siguiera siendo cierta en el modelo canónico.
Notas a pie de página:
- Por supuesto, todo esto es relativo a la consistencia de ZFC, es decir, tenemos que asumir que ZFC es consistente para empezar, pero si lo es entonces tanto ZFC+CH como ZFC+ $\lnot$ CH también son consistentes.
