Cómo probar $\int_{-\pi}^\pi (f(x))^2dx\le \int_{-\pi}^\pi (f'(x))^2dx$

Question

Dejemos que $f$ sea $C^1$ en $[-\pi, \pi]$ y satisface $\int_{-\pi}^\pi f(x)dx=0$ , condición de contorno periódica.

Entonces, demuestre que $\int_{-\pi}^\pi (f(x))^2dx\le \int_{-\pi}^\pi (f'(x))^2dx$ .

Trato de demostrarlo mediante la igualdad de Parseval(con $X_n=\sin nx$ ) y la desigualdad de Schwartz,

pero luego salen algunas constantes. También por qué condición $\int_{-\pi}^\pi f(x)dx=0$ ¿necesita?

Da un consejo.

Answer 1

Esto se conoce como la desigualdad de Wirtinger. Véase la artículo de wikipedia para su prueba.

Answer 2

Considere la función ${f(x)-f'(x)}^2$ . Integrar esta función desde $-\pi$ a $\pi$ . Como se trata de una función positiva esta integral definida es mayor o igual a cero . Ahora expande la ${f(x)-f'(x)}^2$ utilizando $(a-b)^2$ . En la pregunta quiso decir que $f(x)$ es una función impar que significa $f'(x)$ es una función par . El producto $f(x).f'(x)$ es también una función impar y cuando se integra, este el término se hace cero . Si se integran los otros dos términos se obtiene el resultado :)