Incómodo usando la notación de Leibniz para la regla de la cadena.

Question

Estoy trabajando a través de los siguientes solucionado el problema que utiliza la separación de variables para conseguir dos Odas. El problema es demostrar que

$$\frac{1}{\sin\theta P}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\theta}\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}=-\lambda,$$

puede ser expresado como

$$\left(1-x^2\right)\frac{\mathrm{d}^2P}{\mathrm{d}x^2}-2x\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]P=0,$$

donde$\lambda=l\left(l+1\right)$$x=\cos\theta$.

Puedo resolver el problema bien, pero me siento incómodo con algunas de las anotaciones que he usado y quiero saber / entender mejor si es correcto.

Esencialmente, la respuesta implica que indica que

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}=-\sin\theta\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x},$$

y sustituyendo en.

Puedo ver que esto es una aplicación de la regla de la cadena, pero no me siento cómodo en lo que se expresa de esta manera. Creo que lo que me molesta es la primera parte no se especifica cuál es la función que estamos tomando la derivada de, que en este caso es $x$, pero luego de que le dejaría con

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}=-\sin\theta,$$

lo que no se tiene la manipulación de la que es necesaria para re-expresar la pregunta. Este tipo de manipulación que se usa mucho y me gustaría llegar a ser más cómodo con la comprensión de por qué es válido el estado de una cosa, como a mí simplemente no se siente 100% correcto.

Answer 1

lo que me molesta es la primera parte no se especifica cuál es la función que nos está tomando la derivada

Suponga que tiene dos funciones diferenciables $f:I\rightarrow \mathbb{R} $ and $g:J\rightarrow \mathbb{R} $ such that $f(I)\subconjunto J$, where $I$ and $J$ are two intervals $\varnothing \neq I\subconjunto \mathbb{R} $ and $\varnothing \neq J\subconjunto \mathbb{R} $. A continuación, la regla de la cadena puede ser expresado como \begin{equation*} \left( g\circ f\right) ^{\prime }(a)=g^{\prime }(b)f^{\prime }(a),\qquad a\in I,b=f(a)\text{.} \end{ecuación*}

Si $y=g(x)$ $x=f(\theta )$ corresponde a los siguientes Leibnitz la notación para la derivada de la función de composición de $y=\left( g\circ f\right) \left( \theta \right) =g\left( f(\theta )\right) $ \begin{equation*} \frac{dy}{d\theta }=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{d\theta }, \end{ecuación*} donde $dy/d\theta $, $dy/dx$ y $dx/d\theta $ se evalúan, respectivamente, en $\theta =a\in I$, $b=f(a)$ y $\theta =a$.