¿Es un funcional lineal positivo en$L^p$ necesariamente limitado?

Question

Estaba leyendo una fuente en la que sugirió que si $X$ es una medida de espacio (o tal vez el intervalo de la medida de Lebesgue), y si $1 \leq p < \infty$, entonces cualquier valor no negativo lineal funcional $T$ $L^p(X)$ es continua. ( $f \geq 0$ .e. implica $T(f) \geq 0$ como números reales.) Es esto cierto, o incluso, obviamente, verdad?

He leído aquí que lineal positiva funcionales en $C^*$ álgebras son continuos, sino $L^p$ espacios no tienen esta estructura en general... también he aprendido que es verdad cuando $p = \infty$ $X$ es una contables conjunto con el recuento de medida: Cualquier lineal positiva funcional $\phi$ $\ell^\infty$ es un delimitada operador lineal y ha $\|\phi \| = \phi((1,1,...)) $ ... sin embargo, No creo que la misma técnica que conlleva. Hay también esta pregunta, que es un poco más débil y más general: lineal Positiva funcionales en un involutiva álgebra de Banach

También encontré algunos discusión aquí ( pregunta (2) ): aplicación de lineal positiva functionl

Answer 1

Sea$X$ cualquier espacio real o complejo de funciones o clases de equivalencia de funciones tales que con$f\in X$ también$|f|\in X$ y$\||f|\| = \|f\|$ sea un positivo funcional lineal en$\phi$. Se ve fácilmente que$X$ para todos$|\phi(f)|\le 2\phi(|f|)$.

Suponga que$f\in X$ no tiene límites. Entonces existe una secuencia$\phi$ con$(f_n)\subset X$ y$\|f_n\|=1$. Poner $|\phi(f_n)|\ge 2\cdot 4^n$. A continuación,$g_n := |f_n|\ge 0$ y$\|g_n\|=1$ para$\phi(g_n)\ge 4^n$. Defina la función$n\in\mathbb N$. A continuación,$h := \sum_{n=1}^\infty2^{-n}g_n\in X$ para cada$h\ge 2^{-n}g_n$ y así$n\in\mathbb N$ para todo$\phi(h)\ge 2^{-n}\phi(g_n)\ge 2^n$, lo cual es imposible.