Gram matriz invertible iff conjunto de vectores linealmente independientes

Question

Dado un conjunto de vectores$v_1 \cdots v_n$, la$n\times n$ Gram matrix$G$ se define como$G_{i,j}=v_i \cdot v_j$

Debido a la simetría en el producto de punto,$G$ es Hermitian.

Estoy tratando de recordar por qué$|G|=0$ iff el conjunto de vectores no son linealmente independientes.

Answer 1

JasonMond "sólo si" parte no es tan general como se debe, porque se supone que $A$ es de planta cuadrada. En la siguiente, tengo completa la prueba de que tiene si $A$ es la plaza o no.

Deje $G = A^T A$. Si los vectores columna de a $A$ son linealmente dependientes, existe un vector $u \neq 0$ tal que $$ U = 0. $$ De ello se sigue que $$ 0 = a^T a u = G u. $$ Desde $u \neq 0$, $G$ no es invertible.

Por el contrario, si $G$ a no es invertible, existe un vector $v \neq 0$ tal que $$ G v = 0. $$ De ello se sigue que $$ 0 = v^T G v = v^T^T v = (A v)^T a v = \lVert Un v\rVert^2 $$ y, por tanto, que $$ V = 0. $$ Desde $v \neq 0$, los vectores columna de a $A$ son linealmente dependientes. QED.

Answer 2

Deje $A$ ser la matriz cuyas columnas son los vectores $v_1, v_2, ... v_n$. A continuación, la matriz de Gram es $A^T A$, lo $\det G = (\det A)^2$.

Edit: he Aquí una explicación que ignora la dimensión del espacio ambiente. Si $\langle \cdot, \cdot \rangle$ denota el producto interior, entonces la matriz de Gram es precisamente la matriz que describe el producto interior

$$\langle x_1 v_1 + ... + x_n v_n, y_1 v_1 + ... + y_n v_n \rangle$$

en $\mathbb{R}^n$. No es difícil ver que los vectores $v_i$ son linealmente independientes si y sólo si el producto interior es positiva definida. Pero podemos escribir lo anterior como $v^T Gv$ donde $v \in \mathbb{R}^n$ $G$ es la matriz de Gram, y entonces sabemos que el producto interior es positiva definida si y sólo si $G$ es invertible (desde $G$ es invertible si y sólo si sus valores propios son todos positivos).

Answer 3

He aquí otra forma de mirarlo.

Si $A$ es la matriz con columnas $v_1,\ldots,v_n$, y las columnas no son linealmente independientes, significa que existe algún vector $u \in \mathbb{R}^n$ donde $u \neq 0$ tal que $A u = 0$. Desde $G = A^T A$, esto significa $G u = A^T A u = A^T 0 = 0$ o de que existe un vector $u \neq 0$ tal que $G u = 0$. Por lo $G$ no es de rango completo. Esto demuestra el "si".

"Sólo si", es decir, si $|G| = 0$, los vectores no son linealmente independientes -- sigue, ya $|G| = |A^T A| = |A|^2 = 0$, lo que implica que $|A| = 0$ $v_1,\ldots,v_n$ no son linealmente independientes.

Answer 4

Por una parte, el determinante de Gram es el cuadrado del volumen dimensional$n$ - del paralelópipo generado por los vectores de base dados. El determinante es 0 cuando ese objeto no es dimensional completo, es decir, cuando uno de los vectores se encuentra en el hiperplano generado por los otros vectores$n-1$, que a su vez significa dependencia lineal.