Resolver $32x^2 -y^2 = 448$

Question

Estoy tratando de encontrar todas las soluciones enteras de la siguiente ecuación: $$32x^2 - y^2 = 448$$

Esto es lo que he probado hasta ahora:

La ecuación describe una hipérbola, así que pruebo el truco habitual de intersecar la curva con una recta de pendiente racional para encontrar primero soluciones racionales.

Sabiendo que el punto (4,8) satisface la ecuación, resuelvo el siguiente sistema: $$\left\{ \begin{array}{c} 32x^2 - y^2 = 448 \\ y = m(x - 4) + 8 \\ \end{array} \right.$$

Después de un montón de álgebra, me sale: $$x = \frac{-4m^2+16m-128}{32-m^2}$$ $$y = \frac{8m^2-256m+256}{32-m^2}$$

Finalmente, sustituyendo $m = \frac{u}{v}$ me sale: $$x = \frac{-4u^2+16uv-128v^2}{32v^2-u^2}$$ $$y = \frac{8u^2-256uv+256v^2}{32v^2-u^2}$$

Genial, con cualquier opción de $u$ y $v$ obtengo una solución racional.

Pero como la cancelación de los denominadores no funciona, no sé cómo seguir obteniendo soluciones enteras solamente.

¿No es este el camino correcto? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

$y^2$ divisible por $64$ .

Dejemos que $y=8y_1$ .

Así, tenemos $$x^2-2y_1^2=14,$$ que dice que $x$ divisible por $2$ .

Dejemos que $x=2x_1$ .

Por lo tanto, tenemos que resolver $$2x_1^2-y_1^2=7,$$ que se reducen a Pell.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation

Answer 2

Cuatro órbitas bajo $$ x_{n+2} = 34 x_{n+1} - x_n, $$ $$ y_{n+2} = 34 y_{n+1} - y_n. $$

$$ (4,8); \; \; (92,520); \; \; (3124,17672); \; \; (106124,600328); $$ $$ (8,40); \; \; (256,1448); \; \; (8696,49192); \; \; (295408,1671080); $$ $$ (16,88); \; \; (536,3032); \; \; (18208,103000); \; \; (618536,3498968); $$ $$ (44,248); \; \; (1492,8440); \; \; (50684,286712); \; \; (1721764,9739768); $$

Como ocurre a veces, éstas pueden combinarse en dos órbitas bajo $$ x_{n+2} = 6 x_{n+1} - x_n, $$ $$ y_{n+2} = 6 y_{n+1} - y_n. $$

$$ (4,8); \; \; (16,88); \; \; (92,520); \; \; (536,3032); \; \; (3124,17672); \; \;(18208,103000); \; \; (106124,600328); \; \; (618536,3498968);$$ $$ (8,40); \; \; (44,248); \; \;(256,1448); \; \;(1492,8440); \; \; (8696,49192); \; \; (50684,286712); \; \; (295408,1671080); \; \;(1721764,9739768); $$

Mi programa los llama $w,v.$

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jagy@phobeusjunior:~$ ./Pell_Target_Fundamental
  Automorphism matrix:  
    17   96
    3   17
  Automorphism backwards:  
    17   -96
    -3   17

  17^2 - 32 3^2 = 1

 w^2 - 32 v^2 = -448

Wed Oct  4 07:13:21 PDT 2017

w:  8  v:  4 ratio: 2  SEED   KEEP +- 
w:  40  v:  8 ratio: 5  SEED   KEEP +- 
w:  88  v:  16 ratio: 5.5  SEED   BACK ONE STEP  -40 ,  8
w:  248  v:  44 ratio: 5.63636  SEED   BACK ONE STEP  -8 ,  4
w:  520  v:  92 ratio: 5.65217
w:  1448  v:  256 ratio: 5.65625
w:  3032  v:  536 ratio: 5.65672
w:  8440  v:  1492 ratio: 5.65684
w:  17672  v:  3124 ratio: 5.65685
w:  49192  v:  8696 ratio: 5.65685
w:  103000  v:  18208 ratio: 5.65685
w:  286712  v:  50684 ratio: 5.65685
w:  600328  v:  106124 ratio: 5.65685
w:  1671080  v:  295408 ratio: 5.65685
w:  3498968  v:  618536 ratio: 5.65685
w:  9739768  v:  1721764 ratio: 5.65685
w:  20393480  v:  3605092 ratio: 5.65685
w:  56767528  v:  10035176 ratio: 5.65685
w:  118861912  v:  21012016 ratio: 5.65685
w:  330865400  v:  58489292 ratio: 5.65685

Wed Oct  4 07:15:22 PDT 2017

 w^2 - 32 v^2 = -448

jagy@phobeusjunior:~$ 

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Answer 3

Tenga en cuenta que puede simplificar y sustituir de la siguiente manera: $$\begin{array}{lll} y^2 = 2^5(x^2-14)&&\text{substitute } y = 2^2z \\ z^2 = 2(x^2-14)&&\text{substitute } z = 2a\\ 2a^2 = x^2-14&& \\ 2(a^2+7) = x^2&&\text{substitute } x = 2b\\ a^2+7 = 2b^2&&\text{substitute } a = 2c+1\\ 2(c^2+c + 2) = b^2&&\text{substitute } b = 2d\\ 2d^2 = c^2 + c + 2&&\\ 2(d-1)(d+1) = c(c+1)&&\\ \end{array}$$ para que $y = 16c+8$ y $x=4d$ . Esto podría funcionar mejor para su enfoque.