Hay una prolija descripción de los principales ideales del anillo de $R=\mathbb{Z}[x]$, ver aquí (MSE 174595) por ejemplo.
Ahora estoy interesado en la estructura de estos ideales como los módulos de más de $R$.
Por supuesto, todos los no-cero principales ideas son isomorfos como módulos, ya que son isomorfo al anillo del mismo, considerado como un módulo. Esto es cierto para cualquier dominio $R$.
Pero, ¿qué acerca de la no-principal (prime) ideales, que según el enlace de arriba son de la forma
$(p, f(x))$
con $p \in \mathbb{Z}$ un primer y $f(x)$ un polinomio cuya reducción mod $p$ es irreductible.
Pregunta: ¿alguna de estas isomorfo como $R$-módulos?
Creo que podría probar con algunos cálculos sobre las relaciones entre los generadores que para los diferentes números primos $p \neq q$, los ideales $(p, x)$ $(q,x)$ son no isomorfos como $R$-módulos. Pero antes de tirar más complicado polinomios, quería preguntar si hay una forma más inteligente para lidiar con esto, y/o si la pregunta es contestada en algún lugar.
(Una relacionada con la vaga pregunta es: ¿hay una buena manera de pensar acerca de los ideales de los módulos? Me parece psicológicamente difícil, ya que uno está más acostumbrado a pensar en sus cocientes como módulos. Por ejemplo, aunque me dijo con valentía los de arriba "por supuesto" hecho por el principal, los ideales, la parte de mi cerebro que se encuentra es contra-intuitivo al principio.)
