¿Cómo son $z$ y $z^*$ ¿Independiente?

Question

Me han dicho que un número complejo $z$ y su conjugado $z^*$ son independientes. Una parte de mí entiende esto, ya que para dos variables independientes $x$ y $y$ siempre podemos definir nuevas variables independientes $x' = \alpha x + \beta y$ y $y' = \alpha x - \beta y$ .

Sin embargo, esta contradicción me confunde:

Supongamos que asumo $x$ y $y$ son reales. Entonces, si sé $z$ , conozco a los dos $x$ y $y$ Lo cual tiene sentido porque $\mathbb C \cong \mathbb R^2$ . Por ejemplo, si me dices $z = 4 + 5i$ entonces $z^*$ se determina de forma única que es $4 - 5i$ . ¿Cómo podemos decir entonces $z$ y $z^*$ son independientes? No puedo cambiar $z$ sin cambiar también $z^*$ . I puede Sin embargo, el cambio $x$ sin cambiar $y$ .

Answer 1

Es cierto que los coeficientes en $z$ y $z^*$ están relacionados.

Sin embargo, cuando nos referimos a la independencia entre $z$ y $z^*$ lo que en realidad estamos diciendo es que $z$ y $z^*$ son $\mathbb{R}$ -independientes linealmente (o linealmente independiente sobre $\mathbb{R}$ ), lo que significa que para cualquier $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ y $z\not\in\mathbb{R}$ y $z$ no en el eje imaginario, la única manera de hacer $\alpha z + \beta z^*=0$ es tener $\alpha=\beta=0$ .

Geométricamente hablando, para un número complejo $z$ que no es un número real, hacemos el siguiente procedimiento dentro del plano complejo: tomar $z$ , lo escalamos sólo por la magnitud, y luego tomamos $z^*$ y escalarlo por alguna otra magnitud. La única manera de hacer que la suma de estos dos números complejos escalados sea igual a cero, es disminuir ambos $z$ y $z^*$ a $0$ escalando ambos $z$ y $z^*$ por $0$ .

Por otro lado, hay que destacar que los dos números complejos son NO independiente cuando consideramos la independencia lineal sobre los números complejos $\mathbb{C}$ . Esto se debe a que $$z^*=\frac{z^*}{z} z,$$ y $z^*/z$ es un número complejo que puede escalar $z$ a $z^*$ .

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Utilizando términos de álgebra lineal, la diferencia resulta del campo subyacente que elegimos.

Recordemos que cada espacio vectorial está definido sobre un campo. Al ver $\mathbb{C}$ como un campo vectorial sobre el campo $\mathbb{C}$ cualquier base sólo contiene un elemento, la dimensión de este campo vectorial es 1. Sin embargo, al ver $\mathbb{C}$ como un campo vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$ Si cualquier base contiene dos elementos linealmente independientes, la dimensión de este campo vectorial se convierte en 2. Cuando $z$ no es un número real y tampoco es un múltiplo real de $i$ , $z$ y $z^*$ servir de base para $\mathbb{C}_{\mathbb R}$ que es una abreviatura de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{R}$ .

Answer 2

Creo que la cuestión planteada por el OP está relacionada con la Cálculo de Wirtinger en el que escribimos $z=x+iy$ , $z^*=x-iy$ como de costumbre, y luego definir $$ \frac{\partial}{\partial z}\equiv \frac 12 \left( \frac{\partial}{\partial x}- i \frac{\partial}{\partial y}\right) $$ $$ \frac{\partial}{\partial z^*}\equiv \frac 12 \left( \frac{\partial}{\partial x}+ i \frac{\partial}{\partial y}\right). $$ La deinición se hace para que con $dz=dx+idy$ y $dz^*=dx-idy$ la variación $$ df= \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy $$ se convierte en $$ df(z,z^*) = \frac{\partial f}{\partial z}dz + \frac{\partial f}{\partial z^*}dz^*. $$ De esto se desprende que $$ \frac{\partial}{\partial z^*}(z z^*) = z $$ y así sucesivamente, y por lo tanto que, para todos los propósitos prácticos de cálculo, $z$ y $z^*$ pueden tratarse como variables independientes.

Answer 3

Es cierto que existe un mapa uno a uno entre $z$ y $z^*$ Es sólo la reflexión sobre el $x$ -eje del plano complejo. Por lo tanto, no es cierto que $z$ y $z^*$ son independientes. Sin embargo, si consideramos $z^*$ en función de $z$ para que $z^* = f(z)$ Entonces resulta que $f(z)$ no es una función "bonita" en el sentido de que no pueda construirse a partir de operaciones aritméticas básicas como $+,-,\times,\div$ y, por último, no es diferenciable. Esto significa que, en el entorno complejo, la conjugación compleja se convierte en una "operación aritmética" adicional e independiente. Es en este sentido que $z$ y $z^*$ son independientes.

Answer 4

En varios comentarios, OP menciona la cantidad $\frac{dz^*}{dz}$ Así que creo que sería útil aclarar algo.

Si $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función sobre los números reales, entonces podemos definir su derivada (suponiendo que existe) como $$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ Recordemos que para que el límite esté bien definido, debemos llegar al mismo valor tanto si $h\rightarrow 0$ desde la izquierda o desde la derecha.

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Si $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ es una función sobre los números complejos, entonces definimos similarmente su derivada como $$ f'(z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} $$

Obsérvese que aquí hay una sutil diferencia. Ahora $h$ es complejo, por lo que hay un infinito de direcciones a lo largo de las cuales podría llegar a cero. Para que este límite esté bien definido, debemos llegar al mismo valor para todos estos casos.

Aplicando esto al mapa complejo conjugado, $$ \frac{dz^*}{dz} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(z+h)^* - z^*}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^*}{h}$$

La cuestión se aclara cuando escribimos $h=|h|e^{i\theta}$ y $ h^*=|h|e^{-i\theta}$ . La derivada se convierte en

$$\frac{dz^*}{dz} = e^{-2i\theta}$$

Si $h$ es puramente real ( $\theta=0$ ), entonces $\frac{dz^*}{dz}=1$ . Si $h$ es puramente imaginario ( $\theta=\pi/2$ ), entonces $\frac{dz^*}{dz}=-1$ . Obviamente, el valor de la derivada del mapa complejo conjugado depende de la dirección del desplazamiento infinitesimal $dz$ . Esto no es bueno - significa que $\frac{dz^*}{dz}$ no está bien definida, por lo que $z^*$ no es una función compleja-diferenciable de $z$ .

De esto se deduce que si un mapa complejo es una función de ambos $z$ y $z^*$ (digamos, $f(z)= \mathbb{Re}(z) = \frac{1}{2}(z+z^*)$ ), entonces sólo es diferenciable de forma compleja si se considera una función de dos variables independientes y se diferencia en consecuencia. En otras palabras, podemos decir que $$ f = f(z,z^*)$$ $$\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2}, \frac{\partial f}{\partial z^*} = \frac{1}{2}$$

pero $\frac{df}{dz}$ no es una noción significativa.

Answer 5

Al menos en física, la afirmación de que $z=\alpha + \beta i$ y $z^*$ son independientes se basa en la generalización de $\alpha$ y $\beta$ a los números complejos, lo que desgraciadamente a menudo se da por descontado. Sin embargo, casi siempre se puede suponer así y tomar $\alpha,\beta \in \mathbb{Z}$ al final.