Esto es $\aleph_\omega^{\aleph_0}$ . En primer lugar, este cardinal es un límite superior obvio. En segundo lugar, si $A\subseteq\omega$ es infinito, $\prod_{i\in A}\aleph_i$ es claramente al menos $\aleph_\omega$ . El resultado se obtiene, al dividir $\omega$ en un número contable de conjuntos infinitos.
En general, las reglas que rigen los productos infinitos y los exponenciales están lejos de ser bien entendidas. En Teorema de König , $\aleph_\omega^{\aleph_0}>\aleph_\omega$ pero el tamaño de la misma está muy abierto: Podría ser $2^{\aleph_0}$ pero asumiendo (digamos) que $\aleph_\omega$ es el límite fuerte, todo lo que sabemos es que es menor que $\aleph_{\omega_4}$ , ver
MR1318912 (96e:03001) . Shelah, Saharon. Aritmética cardinal . Oxford Logic Guides, 29. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1994. xxxii+481 pp. ISBN: 0-19-853785-9.
(Este resultado es bastante complicado, ciertamente más allá del nivel de la simple aritmética cardinal de los productos de muchos cardinales finitos).
Otra cosa que se puede decir rápidamente es que si $\aleph_\omega$ es el límite fuerte, entonces $\aleph_\omega^{\aleph_0}=2^{\aleph_\omega}$ Véase, por ejemplo esta respuesta .
Usted hace una pregunta más general, esencialmente sobre la definición de productos infinitos. Para los conjuntos $A_i$ , $i\in I$ , por $\prod_{i\in I}A_i$ entendemos el conjunto de todas las funciones $f$ con dominio $I$ tal que $f(i)\in A_i$ para todos $i\in I$ .
Se entiende por producto infinito de cardinales la cardinalidad de este producto cartesiano, y en general $\bigl|\prod_{i\in I} A_i\bigr|=\prod_{i\in I}|A_i|$ .
Nótese que esto generaliza el caso de los productos finitos, donde $A\times B$ por ejemplo, puede identificarse con el conjunto de funciones $f$ definido en $\{0,1\}$ con $f(0)\in A$ y $f(1)\in B$ . En efecto, cada par ordenado $(a,b)$ puede verse como una función de este tipo $f$ con $f(0)=a$ y $f(1)=b$ .
No tenemos todas las reglas, pero algunas se entienden. Muchas generalizan las reglas conocidas para los productos finitos. Por ejemplo, para conjuntos no vacíos $A_i$ , $|\prod_{i\in I}A_i|\ge|A_j|$ para cada $j\in I$ por lo que el producto es al menos el sumo de la $|A_i|$ . Además, si $I$ es la unión disjunta de los conjuntos $J,K$ entonces existe una obvia biyección entre $\prod_{i\in I}A_i$ y $\bigl(\prod_{j\in J}A_j\bigr)\times\bigl(\prod_{k\in K}A_k\bigr)$ y, de forma similar, si $I$ es la unión disjunta infinita de los conjuntos $I_c$ , $c\in C$ entonces se puede encontrar fácilmente una biyección entre $\prod_{i\in I}A_i$ y $\prod_{c\in C}\bigl(\prod_{i\in I_c}A_i\bigr)$ que es lo que he utilizado en la respuesta anterior.
