Si $(x, y) = (2,6)$ entonces $f(x, y) = 20$, y a medida que $y$ aumenta por encima de $6$, $f(x, y)$ aumenta.
Para demostrar esto rigurosamente, probemos por inducción que $$2^{X-1}\gt X+1\tag1$$ para $X\ge 6$.
Caso base: $2^{6-1}=32\gt 7=6+1$.
Suponer que $(1)$ se cumple para algún $X$ nos da $$2^{(X+1)-1}=2\cdot 2^{X-1}\gt 2(X+1)=X+X+2\gt (X+1)+1\quad\blacksquare$$
Usando $(1)$, obtenemos, para $y\ge 6$, $$f(2,y+1)-f(2,y)=2(2^{y-1}-y-1)\gt 0
Si $x \geq 3$ y $y \leq x$ entonces $f(x, y) < 0$.
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$f(x,1)=-2\lt 0$.
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Para demostrar que $f(x,2)\lt 0$ para $x\ge 3$, probemos por inducción que $$2^X\gt X^2-X-2\tag2$$ para $X\ge 4$. Caso base: $2^4=16\gt 10=4^2-4-2$. Suponiendo que $(2)$ se cumple para algún $X$ nos da $$\begin{align}2^{X+1}&=2\cdot 2^X\\&\gt 2(X^2-X-2)\\&=(X+1)^2-(X+1)-2+X(X-3)-2\\&\ge (X+1)^2-(X+1)-2+4(4-3)-2\\&\gt (X+1)^2-(X+1)-2\quad\blacksquare\end{align}$$ También es fácil ver que $(2)$ se cumple para $X=3$. Usando esto, obtenemos, para $x\ge 3$, $$f(x,2)=(x^2-x-2)-2^x\lt 0$$
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Para demostrar que $f(x,y)\lt 0$ para $3\le y\le x$, usamos el hecho de que $y=\frac{\ln x}{x}$ es decreciente para $x\gt e$. Vemos que $\frac{\ln y}{y}\ge \frac{\ln x}{x}$ para $3\le y\le x$, de donde se sigue que $x^y-y^x\le 0$. De esto se deduce que, para $3\le y\le x$, $$f(x,y)=x^y-y^x-x-y\le 0-x-y\lt 0$$
Si $x \geq 3$ y $y=x+1$, entonces $f(x,y)>0$, y a medida que $y$ aumenta por encima de $x+1$, $f(x,y)$ aumenta.
Esta respuesta prueba que $f(x,y)\gt 0$ para $x\ge 3$ y $y\ge x+2$.
Tomemos $y=x+a$ donde $a\ge 2$ es un entero. Entonces,
$$\frac{f(x,x+a)}{x^x}=x^{a}-\left(1+\frac ax\right)^x-\frac{2}{x^{x-1}}-\frac{a}{x^x}\gt x^a-e^a-\frac 29-\frac{a}{x^x}:=g(x)$$
Dado que $g'(x)=ax^{a-1}+\frac{a+a\ln x}{x^x}\gt 0$, $g(x)$ es creciente con $g(3)=3^a-e^a-\frac 29-\frac{a}{27}:=h(a)$.
Tenemos $h'(a)=3^a\ln 3-e^a-\frac{1}{27}$ y $h''(a)=3^a(\ln 3)^2-e^a\gt 0$ con $h'(2)=9\ln 3-e^2-\frac{1}{27}\gt 0$ y $h(2)=9-e^2-\frac 29-\frac{2}{27}\gt 0$.
Entonces, $h(a)\gt 0$ para $a\ge 2$. Se sigue de esto que $g(x)\gt 0$ para $x\ge 3$.
Por lo tanto, se sigue que $f(x,x+a)\gt 0$.
