Si $f(1)=1$ Entonces, ¿es cierto que $f(n)=n$ para todos $n \in \mathbb{N}\cup\{0\}$ .

Question

Dejemos que $f:\mathbb{N}\cup\{0\}\to\mathbb{N}\cup\{0\}$ sea una función que satisfaga $f(x^2+y^2)=f(x)^2+f(y)^2$ para todos $x,y \in\mathbb{N}\cup\{0\}$ . Es fácil ver que $f(0)=0$ y $f(1)=0$ o $f(1)=1$ . Supongamos que $f(1)=1$ . Entonces es muy fácil ver que $f(2)=2$ y como $f(2)=2$ podemos ver que $f(4)=4$ y $f(5)=5$ porque $5=2^2+1^2$ . Para ver $f(3)=3$ , tenga en cuenta que $$25=f(5^2)=f(3)^2+f(4)^2 \implies f(3)=3$$ Incluso se puede ver que $f(6)=6$ , $f(7)=7$ y así sucesivamente. ¿Es generalmente cierto que $f(n)=n$ para todos $n$ ?

Editar. Si alguien se pregunta cómo $f(7)=7$ este es el camino. Tenga en cuenta que $f$ satisface $f(n^2)=f(n)^2$ . Se puede ver que $$25^{2}=24^2+7^2 \implies 25^{2}=f(24)^{2}+f(7)^{2}$$ Tenemos que mostrar $f(24)=24$ . Para ello hay que tener en cuenta que $$26^2 = 24^2+10^2 \implies f(26)^{2} = f(24)^{2}+f(10)^{2}$$ Pero $f(26)=26$ porque $26=5^2+1^2$ y $f(10)=10$ desde $10=3^{2}+1^{2}$ . En resumen, si $n=x^2+y^2$ para algunos $x,y$ y $f(1)=1$ entonces podemos ver que $f(n)=n$ .

Answer 1

Sí.

Suponga que ya sabe que $f(n)=n$ para todos $n < N$ . Quieres encontrar $a,b,c$ , todos más pequeños que $N$ , de tal manera que $N^2+a^2=b^2+c^2$ . Si se encuentra un triplete de este tipo, se concluye inmediatamente que $f(N)=N$ y ya tienes el paso inductivo necesario.

Para impar $N>6$ Utilizar

$N^2+\left(\frac{N-5}{2}\right)^2 = (N-2)^2+\left(\frac{N+3}{2}\right)^2$

Incluso para $N>6$ Utilizar

$N^2+\left(\frac{N}{2}-5\right)^2 = (N-4)^2 + \left(\frac{N}{2}+3\right)^2$

Dado que los detalles de la pregunta ya demuestran que $f(n)=n$ para valores pequeños de $n$ Este paso inductivo finaliza el argumento.

Answer 2

Dejemos que $N$ sea el menor número con $f(N)\neq N$ .

Observe que $f(N^2+a^2)=f(N)^2 + a^2 \neq N^2 + a^2$ para todos $a<N$ .

Por otro lado, si podemos escribir $N^2+a^2$ como $b^2 + c^2$ con $b,c<N$ entonces $f(b^2+c^2)=f(b)^2+f(c)^2=b^2+c^2$ .

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Ahora demostramos que para grandes $N$ siempre podemos encontrar $0\leq a,b,c < N$ tal que $N^2+a^2=b^2+c^2$ o $N^2-c^2=(a+b)(a-b)$ .

Dejar $c=(N-k)$ obtenemos $k(2N-k)=(a+b)(a-b)$ .

Comprobación con $k=1,2,3$ encontraremos un valor tal que $2N-k$ que es un múltiplo de $3$ Esto dará lugar a una factorización $(\frac{2N-K}{3})(3k)$ que se puede realizar en la forma $(a+b)(a-b)$ con $0\leq a,b<N$ .

El primer valor que hace $N$ suficientemente grande es el primer valor tal que $3\times 3 \leq (2N-3)$ que es $6$ .

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Así que sólo tenemos que demostrar $f(n)=n$ se mantiene para $n\in \{0,1,2,\dots,6\}$ Los probamos en este orden:

$0$ (claramente)

$1$ (claramente)

$2$ (suma de dos cuadrados)

$4$ (un cuadrado)

$5$ (suma de $1^2+2^2$ )

$3$ ( $3^2+4^2=5^2$ )

$8$ ( $2^2+2^2$ )

$10$ ( $1^2+3^2$ )

$6$ ( $6^2+8^2=10^2$ )