¿La relación entre el lado y al menos una diagonal de un rombo es siempre irracional?

Question

La relación entre el lado de un cuadrado $ c = 1 $ y su diagonal es $ \frac 1 { \sqrt 2 } $ un cuadrado es un tipo de rombo.

La relación entre el lado $ c = 1 $ de un rombo, con ángulo $ a = \frac \pi 3 $ y su diagonal más larga $ AC $ es $ \frac c {AC} = \frac 1 { \sqrt 3 } $ mientras que la otra diagonal $ BD = 1 $ .

¿Cuál es la ecuación de las longitudes de las diagonales de un rombo de lado $1$ ? ¿La relación entre el lado y al menos una diagonal de un rombo es siempre irracional? (es decir, no es una fracción exacta)

Answer 1

No, puedes hacer un rombo con cuatro triángulos rectángulos pitagóricos idénticos, como (3, 4, 5).

Answer 2

Si $2\alpha$ es el de los ángulos del rombo y tomamos el lado como unidad de medida, entonces los cocientes que te interesan son $\sin\alpha$ y $\cos\alpha$ .

¿Pueden ser ambos racionales? Tenga en cuenta que $$ \sin\alpha=\frac{2\tan(\alpha/2)}{1+\tan^2(\alpha/2)}, \qquad \cos\alpha=\frac{1-\tan^2(\alpha/2)}{1+\tan^2(\alpha/2)}, \qquad \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} $$ para que $\sin\alpha$ y $\cos\alpha$ son ambos racionales si y sólo si $\tan(\alpha/2)$ es racional.

Desde $\alpha$ puede ser cualquier ángulo que satisfaga $0<\alpha<\pi/2$ , $\tan(\alpha/2)$ puede asumir cualquier valor entre $0$ y $1$ entre los cuales hay infinitos números racionales.

Puede intentar demostrar que las opciones de $\alpha=2\arctan r$ , donde $0<r<1$ y $r$ es racional, están en correspondencia uno a uno con los triples pitagóricos primitivos.