Si entiendo correctamente, entonces la pregunta es ¿por qué ciertos grupos de dígitos en la expansión decimal de $1/7$ son múltiplos de $7$, y por qué con factor de $2^n$, y no otros.
Para una versión corta: ir al final de mi respuesta, la siguiente es mi aproximación a una explicación y no es tan limpio como el último párrafo.
Usted logra expresar $1/7$ como una serie geométrica
$$7\cdot\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac2{100}\right)^n.$$
El $100$ no es muy sorprendente, ya que estamos hablando de dígitos en el sistema decimal. Por lo poderes de $10$ están siempre presentes. Lo que podría ser desconcertante es donde el $2$ proviene. El límite de la serie es
$$7\cdot\frac{2/100}{1-2/100}=7\cdot\frac2{100-2}=7\cdot\frac2{98}$$
y la razón por la que este perfectamente cancles a $1/7$ es debido a $98=\color{red}{2}\cdot7\cdot 7$. La razón por la que esto funciona tan perfectamente para $7$ (y no para otros números de $-$, entonces no sería de extrañar), es que el $7^2+1=50$ es exactamente $10^{2}/{\color{red}{2}}$ (y esto es donde $2$ entra en el juego).
Me explico. Si queremos que los grupos de dígitos de $1/p$ son múltiplos de $p$ sí, tenemos que expresar como una serie geoemtric
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left[p\cdot\left(\frac{q}{10^k}\right)^n\right].$$
El $10^k$ es un artefacto del sistema decimal y hace que nuestro dígitos (en cierta medida) exactamente de la forma $p\cdot q^n$ (por ejemplo, $7\cdot2^n$ en su caso). Existen algunas formas de lo tweek este sistema, pero permite que se adhieren a ella por ahora. La evaluación de esta serie da
$$p\cdot\frac{q/10^k}{1-q/10^k}=p\cdot\frac{q}{10^k-q}.$$
Para que esto perfectamente ser $1/p$, tenemos $10^k-q=q\cdot p^2$ (verificación, todo cancles). Nos reorganizar esto a
$$q=\frac{10^k}{p^2+1}.$$
Aquí usted puede ver por qué esto funciona para $p=7$. Entonces turnes podemos elegir $k=2$ conseguir $q=2$. Hasta ahora he encontrado ningún otro número para el cual contamos $p^2+1$ en tan buena forma. Si usted permite que los grupos de dígitos son de la forma $\alpha p\cdot q^n$ con algún factor adicional $\alpha$, entonces estamos buscando combinaciones en las que se $\alpha p^2+1$ divide $10^k$. Todavía no es fácil encontrar este tipo de combinaciones, pero he encontrado uno o dos más agradable.
Usando mi método, me encontré con que
$$\frac1{127}\approx 0.\color{lightgray}{00}\color{red}{7874}\color{lightgray}{0}15748\color{lightgray}{0}\color{red}{31496}\color{lightgray}{0}62992\color{red}{125984}251\, ...$$
que resultó ser generados por
\begin{align}
\color{lightgray}{00}\color{red}{7874} &= 127 \cdot 31 \cdot 2^1 \\
\color{lightgray}{0}15748 &= 127 \cdot 31 \cdot 2^2 \\
\color{lightgray}{0}\color{red}{31496} &= 127 \cdot 31 \cdot 2^3 \\
\color{lightgray}{0}62992 &= 127 \cdot 31 \cdot 2^4 \\
\color{red}{125984} &= 127 \cdot 31 \cdot 2^5 \\
\cdots
\end{align}
En este ejemplo se utiliza $q=2$, $k=6$, $p=127$ y $\alpha=31$. La razón de este bonito modelo (y la ocurrencia de $\color{red}2^n$) está de nuevo ese $127^2\cdot31+1=500000=10^6/\color{red}2$.
Cuando son menos restrictiv en el tipo de hábitat patrón, por ejemplo, $p$ no necesita más para ser parte de el dígito de la secuencia de $1/p$, entonces podemos construir un mejor ejemplo de la anterior:
$$\frac1{127^2}\approx 0.\color{lightgray}{0000}62\color{lightgray}{000}124\color{lightgray}{000}248\color{lightgray}{000}496\color{lightgray}{000}992\color{lightgray}{00}1984\color{lightgray}{00}3968\,...$$
donde el negro dígitos simplemente se $31\cdot 2^n$.
Otro loco ejemplo es
$$\frac1{17}\approx 0.\color{lightgray}0\color{red}{58823529411764705882352941176470588235294}11764705\, ...$$
que sigue el patrón de $a(n)=17\cdot 1730103806228373702422145328719723183391\cdot 2^n$. Para las pequeñas $n$ encontramos
\begin{align}
a(1)&=\color{lightgray}0\color{red}{58823529411764705882352941176470588235294}\\
a(2)&=117647058823529411764705882352941176470588\\
\cdots
\end{align}
como era de esperar. Por desgracia, los números son tan largas que no puedo realmente muestran cuán perfectamente se adapta. Este patrón se utiliza $p=17$, $q=2$, $k=42$ y un enorme $\alpha$ visto anteriormente. Una vez más observamos $17^2\cdot \alpha+1=10^{42}/\color{red}2$.
Una más técnica de la observación
Pensando en el problema, por lo mucho que me trajo a un lugar aún más conocimiento directo.
Deje $q$ ser un divisor de a$10^k$$10^k/q-1=a\cdot b$. A continuación, el patrón de dígitos de la representación decimal de $1/a$ contiene la secuencia de $b\cdot q^n$.
Prueba.
$$\frac1a=b\cdot\frac1{ab}=b\cdot\frac1{10^k/q-1}=b\cdot\frac{q/10^k}{1-q/10^k}=\sum_{n=1}^{\infty} \left[b\cdot \left(\frac q{10^k}\right)^n\right].\qquad\square$$
Esto fue utilizado anteriormente y puede ser visto en todos los ejemplos, por ejemplo,
$$7\cdot7=\frac{10^2}2-1,\qquad 127^2\cdot 31=\frac{10^6}2-1$$
Esto muestra una bonita dualidad. Debido a la simetría entre el $a$ $b$ también vemos que $1/31$ contiene el patrón de $127^2\cdot 2^n$. No hay tal dualidad se puede observar en el caso de $1/7$ debido a que este fue el caso con $a=b=7$. También vemos que los únicos valores posibles para $q$ $2^s5^r$ debido a que estos son la única posibilidad de divisores de a $10^k$.
Esta última observación permite generar una infinidad de ejemplos con buen dígitos patrones. Así que me limitaré a parar aquí, a pesar de que el problema realmente me consiguió. Los ejemplos presentados anteriormente no son tan bonito en esta nueva luz, pero que sin duda puede encontrar las mejores que ahora.
