¿Cuál es la notación adecuada para un número general de sumas anidadas?

Question

Una suma sobre un índice: $\sum_i f(i)$

Una suma sobre dos índices: $\sum_i \sum_j f(i,j)$

Una suma sobre muchos índices: $\sum_{k_1} \sum_{k_2} \underbrace{\dots}_n \sum_{k_n} f(\mathbf k)$ ?

Answer 1

Probablemente en la mayoría de los contextos $$\sum_{k_1} \cdots \sum_{k_n} f(k_1, \ldots, k_n)$$ y a veces basta con escribir $$\sum_{k_1, \ldots, k_n} f(k_1, \ldots, k_n),$$ o quizás de forma algo más precisa, $$\sum_{(k_1, \ldots, k_n)} f(k_1, \ldots, k_n).$$ Tal y como está escrito, este último sumatorio no es en realidad un sumatorio múltiple, sino un sumatorio único sobre todos los $k$ -tuplas $(k_1, \ldots, k_n)$ en el producto cartesiano $K_1 \times \cdots \times K_n$ de los conjuntos de índices $K_i$ sobre las que las variables índice $k_i$ varían respectivamente.

Como siempre, hay que tener cuidado cuando se trata de sumas infinitas, que formalmente son objetos diferentes, y para las que es posible que la suma dependa del orden de indexación. En este caso, la primera notación es sin duda la mejor; si debe utilizar una de las últimas, a menudo sería prudente incluir un comentario sobre el orden de la suma (o una indicación de que la suma es independiente del orden de indexación).

Answer 2

Pruebe \begin{equation} \sum_{x \mathop \in S} f(x) \end{equation} que es la suma de $f(x)$ sobre todos los elementos $x$ en el conjunto $S$ . Su conjunto $S$ podría ser $\{k_{1},...,k_{n}\}$