Norma de campo proyectiva para extensiones finitas de $\mathbb{F}_{p^k}$

Question

Prefiero no tener la respuesta, porque siento que debería ser una pregunta relativamente fácil, y sólo me falta algún paso clave, pero podría alguien darme una pista para demostrar que la norma (definida como $N(a)=\det(L_a)$ ) donde $L_a$ es la transformación lineal dada por la multiplicación por $a$ es suryente en el caso de una extensión finita de un campo finito?

He estado mirando el hecho de que $N(x)=x^n$ para cualquier $x$ en el campo base, donde $n$ es el grado de extensión del campo. Pero esto no me devuelve necesariamente todos los elementos del campo base, por ejemplo $\mathbb{F}_3(\sqrt{2})$ donde tenemos que aplicar la norma a $\sqrt{2}$ para conseguir $2$ atrás. ¿Hay algún hecho básico sobre los campos finitos que se me haya escapado, o algo más inteligente en relación con una extensión de campo?

Gracias.

Answer 1

Observación: Respondí demasiado pronto y proporcioné una respuesta para el rastrear de una extensión de campo en su lugar. No lo voy a borrar porque es algo interesante, aunque sea inútil.

He incluido pero un cálculo diferente para la norma sólo para completar mi respuesta. $$ N\colon \mathbb F_{q^\ell}^*\to \mathbb F_{q^\ell}^* \colon x\mapsto xx^q x^{q^2}\cdots x^{q^{\ell-1}} = x^{\tfrac{q^\ell-1}{q-1}} $$ Observe que $N$ es un morfismo de grupos cíclicos y que de hecho $\mathrm{im} N \subseteq \mathbb F_q^*$ . Ahora bien, es bien sabido (o bien fácil de demostrar) que si $$ \varphi \colon C\to C \colon x\mapsto x^m $$ es un morfismo de grupos cíclicos, entonces $|\mathrm{im} \varphi| = |C|/(m,|C|)$ . En este caso $|\mathrm{im} N |= \frac{q^\ell-1}{(q^\ell-1,\frac{q^\ell-1}{q-1})} = q-1$ y de hecho $N$ está en $\mathbb F_q^*$ .

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Respuesta original: No estoy seguro de dónde estás atascado exactamente, así que no sabría qué insinuar, pero a continuación te explico cómo suelo tratar este tipo de problemas.

Dejemos que $\mathbb F_{q^\ell}/\mathbb F_q$ sea una extensión de campo, con una traza asociada $$ T\colon \mathbb F_{q^\ell}\to \mathbb F_q \colon x\mapsto x+x^q + x^{q^2} + \dots + x^{q^{\ell-1}} $$ Observe que $T$ es un morfismo de grupos aditivos. (Y nótese que efectivamente $T(x)^q = T(x)$ para todos $x$ por lo que va a $\mathbb F_q$ en efecto).

Ahora, en primer lugar, todos los elementos de $\ker T$ son soluciones de una ecuación de grado $T^{\ell-1}$ por lo tanto $|\ker T|\le q^{\ell-1}$ . Por otro lado $|\mathrm{im}\, N| = q^\ell/ |\ker N| \leq q$ por lo tanto $|\ker T| \geq q^{\ell-1}$ . Por lo tanto, $|\ker T|=q^{\ell-1}$ y $|\mathrm{im} T|=q$ y $T$ es un suryecto.

-- Editar. Debo aclarar que la definición de "Rastro" que utilizo puede parecer diferente a la suya; afortunadamente Arturo Magidin --como siempre-- proporciona una explicación detallada al respecto.

Answer 2

Dos hechos:

• La norma es multiplicativa: $N(ab) = N(a)N(b)$ .
• Los elementos no nulos de un campo finito forman un grupo cíclico (bajo multiplicación).

Por lo tanto, si usted puede averiguar lo que un generador del campo multiplicativo de $\mathbb{F}_{p^k}$ mapas para...

Añadido. Su comentario a continuación sugiere que está un poco confundido. Así que permítame aclarar un poco las cosas.

Dada una extensión de campo $F\subseteq K$ de grado finito, el norma de $K$ a $F$ , $N_{K/F}\colon K\to F$ es el mapa que envía $N(a)$ al determinante de $L_a\colon K\to K$ la transformación lineal de $K$ a $K$ dado por la multiplicación por $a$ , considerando $K$ como un espacio vectorial sobre $F$ . El mapa es multiplicativo y siempre toma valores en $F$ . La "subjetividad" aquí se referiría a la subjetividad como un mapa $N_{K/F}\colon K\to F$ .

Usted está considerando $F=\mathbb{F}_{p^k}$ et $K=\mathbb{F}_{p^{kn}}$ para algunos enteros positivos $k$ y $n$ (recuerda que $\mathbb{F}_{p^a}$ es una extensión de $\mathbb{F}_{p^b}$ si y sólo si $b|a$ ).

Dado que el grupo multiplicativo de $K$ es cíclica, está generada por alguna $a$ por lo que la parte no nula de la imagen de $N$ es generado por $N(a)$ Por lo tanto, sólo hay que averiguar qué $N(a)$ es.

Porque los poderes de $a$ dan todos los elementos no nulos de $K$ entonces $K=\mathbb{F}_{p^k}(a)$ Así que $\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}$ es una base para $K$ .

Es bastante fácil averiguar cuál es la matriz de $L_a$ es con respecto a esta base (dependerá del polinomio mínimo de $a$ Sin embargo, no es así.) Entonces quieres argumentar que el determinante de ce es necesariamente un generador del grupo multiplicativo de $\mathbb{F}_{p^k}$ .

Por ejemplo, con $\mathbb{F}_3(\sqrt{2})$ el grupo multiplicativo está generado por $1+\alpha$ , donde $\alpha=\sqrt{2}$ , ya que: $$\begin{align*} (1+\alpha)^2 &= 1+2\alpha+\alpha^2 = 3+2\alpha = 2\alpha;\\ 2\alpha(1+\alpha) &= 2\alpha+4 = 1+2\alpha;\\ (1+2\alpha)(1+\alpha) &= 2;\\ 2(1+\alpha) &= 2+2\alpha;\\ (2+2\alpha)(1+\alpha) &= \alpha;\\ \alpha(1+\alpha) &= 2+\alpha;\\ (2+\alpha)(1+\alpha) &= 1. \end{align*}$$ Tenga en cuenta que $\{1,1+\alpha\}$ es una base para $\mathbb{F}_3(\sqrt{2})$ en $\mathbb{F}_3$ . Si dejamos que $a=1+\alpha$ entonces $L_a$ tiene una matriz, relativa a esta base, igual a $$\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right)$$ (ya que $(1+\alpha)^2 = 2\alpha = 1 + 2(1+\alpha)$ ). Así que el determinante de esta matriz es $-1 = 2$ Por lo tanto $N(1+\alpha) = 2$ que resulta ser un generador de $\mathbb{F}_3^{\times}$ . Esto significa que la imagen de $N$ consiste en $0$ más el subgrupo de $\mathbb{F}_3^{\times}$ generado por $N(1+\alpha)=2$ que es todo $\mathbb{F}_3$ .

Tenga en cuenta que aunque $K=\mathbb{F}_3(\sqrt{2})$ , $\sqrt{2}$ no genera el grupo multiplicativo de elementos no nulos de $K$ ; necesitábamos tomar un elemento diferente.