¿Que números primos $p$ es $\cos(2\pi/p)$ irracional?

Question

Soy principiante en la teoría de la extensión de campo. Pero no he aprendido la teoría de Galois. Necesito resolver el siguiente problema:

¿Que números primos $p$ es $$\cos\left(\frac{2 \pi}{p}\right)$ $ irracional?

He pasado algún tiempo en esta cuestión. Pero no ha hecho mucho progreso. Si alguien podría proporcionar una solución completa, que sería grande. Pero sugerencias serán apreciadas así. Muchas gracias.

Answer 1

Extanded consejos:

• Sin duda usted sabe que el ciclotómicas campo $L=\Bbb{Q}(\zeta_p)$, $\zeta_p=e^{2\pi i/p}$ es una extensión de $p-1$de % de grado de los racionales.
• Probablemente sabes que $K=\Bbb{Q}(\cos(2\pi/p))$ es un subcampo de $L$, porque $\zeta_p+\zeta_p^{-1}=2\cos(2\pi/p)$.
• La ecuación anterior también muestra que el $\zeta_p$ es un cero del polinomio $m(x)=x^2-2\cos(2\pi/p)x+1\in K[x]$.
• Por lo tanto $[L:K]=$ ___ y ___ de $[K:\Bbb{Q}]=$ (rellena los espacios en blanco).

Answer 2

$p>2$ Sin pérdida de generalidad podemos asumir ($\cos\pi$ es racional, por supuesto).

$\cos\left(\frac{2\pi}{p}\right)$ es una raíz de un polinomio de Chebyshev y $\cos\left(\frac{2\pi k}{p}\right)$, $k=1,2,\ldots,\frac{p-1}{2}$, son conjugados algebraicas. Si demuestran que el anterior polinomio de Chebyshev es un polinomio irreducible (demostrando es el polinomio mínimo de $\cos\left(\frac{2\pi}{p}\right)$, o por relacionarse con un polinomio ciclotómicas), consigue que $\cos\left(\frac{2\pi}{p}\right)$ es un número algebraico de grado $\frac{p-1}{2}$ $\mathbb{Q}$. Sigue que $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ pertenece a $\mathbb{Q}$ sólo si $p=2$ o $p=3$.