Cuestión conceptual: Puntos críticos

Question

Esta es mi primera pregunta publicada aquí, espero que sea lo más fácil de responder.

Actualmente estoy estudiando Cálculo Vectorial se enseña que para encontrar los puntos críticos (sobre toda la superficie, no sobre algún dominio), hacemos lo siguiente:

1. Dejemos que $f_x=0$ y $f_y=0$ .

2. Resuelve las dos ecuaciones resultantes simultáneamente si es necesario.

Estamos tomando los parciales a lo largo de los ejes de coordenadas, pero ¿cuál es la garantía de que estos son los sólo ¿puntos críticos?

Es decir, si tomo las derivadas parciales a lo largo de dos vectores perpendiculares cualesquiera, ¿podrían dar lugar a puntos críticos que no se encontrarían tomando las parciales a lo largo de los ejes de coordenadas?

A continuación, mi "explicación" basada en mis conocimientos actuales (¡que pueden ser completamente incorrectos!)

Como generalmente estudiamos superficies "amigables", los parciales (en cualquier dirección) siempre tenderán a cero, por lo que tomamos los parciales a lo largo de los ejes de coordenadas por comodidad.

Answer 1

Si tienes un punto crítico y tu función es diferenciable entonces la derivada direccional debe ser cero en todas las direcciones de las coordenadas. Por tanto, los parciales $f_x$ y $f_y$ debe ser cero, por lo que se garantiza encontrar todos los puntos críticos resolviendo esas ecuaciones. También podrías utilizar cualquier otro par de direcciones linealmente independientes para las derivadas. La regla de la cadena dice que la derivada en cualquier otra dirección será una combinación lineal de las 2 derivadas direccionales base que calculas. Por lo tanto, la derivada será cero en todas las direcciones si es cero para las 2 direcciones base.