Relación entre las frases abiertas y los conjuntos (cuestión conceptual)

Question

Hola soy un estudiante universitario que se adentra en el lado más orientado a la prueba de las matemáticas. Estaba revisando Mathematical Proofs, A Transition to Advanced Mathematics 2nd edition y después de pensar en los capítulos 1 y 2 se me ocurrió una pregunta. ¿Se puede pensar en los conjuntos como el conjunto solución de una sentencia abierta sobre un dominio específico?

Los conjuntos pueden describirse de varias maneras: una lista de números que siguen algún patrón {2,4,6,...}; una expansión de tipo {2x: x es un número natural}; y lo que me hizo pensar en todo este asunto, elementos que satisfacen alguna condición {x es par: x>0}. Por ejemplo, x>0 podría considerarse una sentencia abierta con el conjunto de los números pares como dominio.

Si todos los conjuntos pudieran describirse como elementos que satisfacen alguna condición (o sentencia abierta), ¿no significaría eso que los conjuntos son los conjuntos solución de las sentencias abiertas? Entonces, las operaciones normales con conjuntos, como las intersecciones, las uniones, las diferencias de conjuntos o las particiones de conjuntos, podrían pensarse en términos de hacer esas operaciones con conjuntos solución de sentencias abiertas. Estas sentencias abiertas pueden incluso no estar aparentemente relacionadas, excepto porque comparten conjuntos solución similares.

Además, para que una sentencia abierta tenga un conjunto de soluciones debe tener un conjunto como dominio. Sin embargo, este dominio podría ser considerado como un conjunto de soluciones para una sentencia abierta que contenga su propio dominio (si lo que estoy pidiendo es cierto al menos), y ese tipo de pensamiento podría continuar infinitamente.

Entonces, ¿es correcta esta conexión entre los conjuntos y las oraciones abiertas? Cualquier idea o consejo sobre este tema es bienvenido. Tal vez parezca una pregunta sin sentido, pero me gusta encontrar interrelaciones entre partes aparentemente separadas de las matemáticas.

Answer 1

Tus reflexiones tienen un excelente sentido, pero se adentran en un terreno algo sutil en el que hay que evitar algunos escollos que no se puede esperar que notes por ti mismo.

Cuando se inventó la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX, la idea general entre los inventores era que un conjunto es simplemente una forma más conveniente de hablar de una sentencia abierta, y utilizar técnicas algebraicas para manipularlas. Esta es la idea que se intenta formular aquí.

Sin embargo, después de unas décadas de trabajo, quedó claro que esta forma de pensar, por muy útil que sea en muchas situaciones, también puede conducir a veces a un sinsentido flagrante. El ejemplo más conocido es el de La paradoja de Russell que considera la sentencia abierta " $x$ es un conjunto que no se tiene a sí mismo como elemento". Si esta frase abierta corresponde a un conjunto, entonces ese conjunto tendría que ser un elemento de sí mismo exactamente si no es un elemento de sí mismo. ¡La locura!

Estos descubrimientos fueron la causa de muchas discusiones y penas entre los matemáticos en los años cercanos a 1900, pero el consenso que finalmente surgió -y que aún se considera fundamental- es que algunos pero no todos Las frases abiertas determinan conjuntos. Las reglas sobre las oraciones abiertas que se pueden utilizar para formar conjuntos se denominan axiomas de la teoría de conjuntos . Se han propuesto varios conjuntos de reglas de este tipo, pero el que prácticamente todo el mundo utiliza hoy en día se conoce como teoría de conjuntos ZFC (por Z ermelo- F teoría de conjuntos de raenkel con C ridad).

Como estudiante, es probable que no se le muestren las reglas precisas de la ZFC a menos que las busque activamente; en su lugar, se espera más o menos que desarrolle una sensación de lo que uno puede hacer imitando sus libros de texto y sus profesores. Este enfoque aparentemente loco de la educación parece funcionar mejor en la práctica de lo que tiene derecho a hacerlo -- pero, por supuesto, ahora que sabes lo que tienes que buscar, tienes la oportunidad de encontrar lo verdadero por ti mismo.

De forma rápida e informal, estas son las reglas de la ZFC:

• Siempre está permitido utilizar una frase abierta de la forma " $x$ es una de las siguientes cosas (finitas)...". Esto corresponde a la enumeración directa de los elementos del conjunto, como en $\{42,108,117,666\}$ .

• Siempre está permitido utilizar cualquier frase abierta de la forma " $x$ es un elemento de $A$ y adicionalmente tal y tal", donde $A$ es un conjunto que ya sabes que existe. Esto permite notación de set-builder , $\{x\in A\mid \text{such-and-such}(x) \}$ . Esta es la regla de trabajo de ZFC, el axioma de separación , también conocido a veces como el axioma de comprensión del juego o subconjuntos . Dice, en el lenguaje que usas aquí, que mientras tu sentencia abierta tenga un dominio que ya sabes que es un conjunto, estás bien y no necesitas preocuparte.

• Está permitido utilizar las frases abiertas " $x$ es un subconjunto de $A$ " y " $x$ es un elemento de algún elemento de $A$ ", de nuevo donde $A$ es un conjunto ya conocido. Esto produce el conjunto de energía $\mathcal P(A)=\{x\mid x\subseteq A\}$ y el unión de $A$ de los elementos: $\cup A = \{x\mid \exists y: x\in y\in A\}$ .

• Está permitido utilizar la frase abierta " $x$ es un número natural", garantizando que $\mathbb N$ es un conjunto. (La formulación técnica real de este axioma del infinito es un poco más sutil que esto, pero servirá para un primer vistazo).

• Si $F$ es cualquier función para la que pueda encontrar una definición precisa, entonces puede utilizar la frase abierta " $x$ es el valor de $F$ cuando la entrada es algún elemento de $A$ ", produciendo $\{F(y)\mid y\in A\}$ . Este es el axioma de sustitución , proporcionando la F de ZFC (ya que fue inventada por Adolf Fraenkel). Esencialmente dice que cuando $A$ es un conjunto, se puede sustituir cada uno de sus elementos por el valor de $F$ en este elemento, y lo que se obtiene al sustituirlos todos sigue siendo un conjunto.

• Por último, está el axioma de elección que afirma que existen conjuntos con ciertas propiedades que puede no corresponder a ninguna sentencia abierta . Una discusión completa de esto sería demasiado larga para esta respuesta; lo importante es tener en cuenta que en las matemáticas convencionales no suponer que cada conjunto que vemos está dado por alguna frase abierta que se puede escribir.