¿Cómo puede ser verdad $i^2 = k^2 = j^2 = ijk = -1$?

Question

Acabo de empezar a aprender los conceptos básicos de cuaterniones, pero ejecutar inmediatamente en una pared.

O la primera ecuación en la Wikipedia es la siguiente

$i^2 = k^2 = j^2 = ijk = -1$

Esto implica

$i = \sqrt{-1}$

$j = \sqrt{-1}$

$k = \sqrt{-1}$

pero ahora $ijk = -1$ también ser verdadero

$\sqrt{-1} * \sqrt{-1} * \sqrt{-1} = -1$

$-1 * \sqrt{-1} = -1$

$\sqrt{-1} = 1$

Esto no puede ser verdad. ¿Qué me falta aquí?

Answer 1

No hay tal cosa como $\sqrt{-1}$ en el de los números complejos. No utilizar ese símbolo que no está bien definido y su comprensión de los números complejos mejorará.

Si bien es posible definir una función de raíz cuadrada sobre la no negativo real de los números, la satisfacción de la propiedad$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$a,b\ge0$, no hay ninguna función $f$ definida sobre los números complejos de satisfacciones

1. $f(1)=1$;
2. $(f(z))^2=z$, para todos los $z\in\mathbb{C}$;
3. $f(z_1z_2)=f(z_1)f(z_2)$, para todos los $z_1,z_2\in\mathbb{C}$.

(aquí se $f$ debe ser la raíz cuadrada).

Por lo tanto no se puede utilizar la relación $\sqrt{-1}\, \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$: ver bien esto le da una contradicción inmediata. Pero es sólo aparente: puesto que la función no se cumple con los requisitos anteriores, no se puede utilizar. En realidad, esta contradicción es una prueba de que la función anterior no puede existir.

Durante los cuaterniones la situación es aún más complicada. Hay infinitamente muchos de los cuaterniones $h$ tal que $h^2=-1$.

Es decir, considerar la posibilidad de $h=a+bi+cj+dk$; a continuación, \begin{align} h^2 &=(a+bi+cj+dk)(a+bi+cj+dk) \\ &=a^2-b^2-c^2-d^2+2abi+2acj+2adk \end{align} así, obtenemos $$ \begin{cases} a=0 \\[4px] b^2+c^2+d^2=1 \end{casos} $$ y la segunda ecuación tiene una infinidad de soluciones (imagina a la unidad de la esfera en el espacio de tres). Entre estas hay, de hecho,$\pm i$, $\pm j$, y $\pm k$.

No olvides que los cuaterniones no son conmutativos, aparentemente tan misteriosa cosas pueden suceder. No son misteriosas, aunque: seguir las reglas dadas, no de aquellos que se piensan aplicar.

Answer 2

Creo que la mejor manera de entender esto en mi opinión es mirar la forma de la matriz de fórmulas (4,5,6,7) http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html,

1

Yo

J

k

piense acerca de si $i^2=-1 iijk=-i$ $jk=i$ más $jiijk=-ij$$k=-ji$, y otras propiedades tales como $jiijkj=-jij=-kj$ $jk=i$ $kj=-i$ y así sucesivamente.

Sin duda el sistema más simple con no de desplazamientos de los elementos de la matriz de 2X2 grupo que, como se muestra en la mathworld artículo es isomorfo a 1,i,j,k