poleas de anillos y mapas de clasificación de topos

Question

Deje $R$ ser la categoría de finitely presentado conmutativa anillos (pero no sé cuán necesaria es la hipótesis de finito presentación es para mi la pregunta). Deje $Set^R=Fun(R, Set)$ ser la categoría de functors de $R$ a la categoría de $Set$ de los conjuntos, por lo $Set^R$ es la categoría de pre poleas en $R^{op}$. Deje $X$ ser un espacio topológico, y $Sh(X)$ la categoría de poleas en $X$.

Mi pregunta es, ¿por qué los datos de una forma geométrica de morfismos de topoi $$f: Sh(X) \to Set^R$$ (el significado de un par de mapas adjuntos $f^*:Set^R \to Sh(X)$ $f_*:Sh(X) \to Set^R$ de manera tal que la izquierda adjoint $f^*$ preserva límites finitos) equivalente a dar una gavilla $F$ de anillos conmutativos en $X$? Por ejemplo, dado un mapa de $f$, y un conjunto abierto $U \subseteq X$ ¿qué anillo es $F(U)$? ¿Cuál es el modelo universal (de un anillo de la teoría) en $Set^R$? También, para la gavilla $\mathcal{O}_X$ de real continua de las funciones con valores en $X$, ¿cuál es el mapa correspondiente $f$?

(El hecho de que $R$ es de libre generado (bajo colimits) por $\mathbb{Z}[x]$ podrían ser relevantes, no sé).

Answer 1

La clasificación de los topos de los anillos es discutido en detalle sangriento en la Sección VIII.5 de Mac Lane y de Moerdijk, Poleas en la Geometría y la Lógica.

Pero para empezar, Diaconescu del Teorema (que se explica en el mismo libro, Corolario VII.9.4) identifica a la izquierda exacta a la izquierda adjoints $\mathsf{Set}^{\mathcal{C}^\mathrm{op}} \to \mathcal{E}$ (donde $\mathcal{E}$ es un topos de Grothendieck) con la izquierda exacta functors $\mathcal{C} \to \mathcal{E}$ respecto cubre de una manera determinada. La correspondencia es simple para el estado: se trata de la precomposición con el Yoneda incrustación $\mathcal{C} \to \mathrm{Set}^{\mathcal{C}^\mathrm{op}}$ en una dirección, y tomando la izquierda Kan extensión a lo largo de la Yoneda la incrustación en el otro. Personalmente no he estudiado cómo los detalles con revestimientos de trabajo, pero en el caso de $\mathcal{E} = \mathrm{Set}$, donde se puede ignorar revestimientos, este hecho es fundamental para la teoría de local presentable categorías.

Ahora tome $\mathcal{C} = R^\mathrm{op}$ y utilice el hecho de que $R$ es generado bajo finito colimits por la libre anillo en uno de generador, de modo que a la izquierda functor exacto de $R^\mathrm{op}$ equivale a una elección de a dónde enviar a $\mathbb{Z}[x]$. Esto no es una explicación completa porque no hemos analizado cómo la cubierta condición restringe donde podemos enviarle $\mathbb{Z}[x]$, pero es un comienzo.