Un automorphism actuando sobre el haz de diferencias

Question

Estoy tratando de hacer el siguiente problema, tomado de "Geometría algebraica" de Iitaka.

Sea C una curva suave, geométricamente conectada de género g sobre un campo k. asuma que $g \geq 2$. Si $f \in Aut(C)$ satisface que $f^\ast w = w$ % todo $w \in \Omega^1_{C/k}$, muestran que el $f=id$.

No tengo idea hasta ahora, así que cualquier sugerencia sería bueno (o solución).

Answer 1

No estoy seguro de si el método funciona, pero para el caso cuando C es no-hyperelliptic, considere lo siguiente: La canónica mapa de $g:C \rightarrow \mathbb{P}^{g-1}_k$ es un cerrado de inmersión, ya que C no es hyperelliptic, por lo que asumir que $f \in Aut(C)$ actúa como la identidad en $\Omega^1_{C/k}$. A continuación, tenemos un diagrama conmutativo $$\requieren{AMScd} \begin{CD} C @>{g}>> \mathbb{P}^{g-1}_k;\\ @VfVV @VidVV \\ C @>{g}>> \mathbb{P}^{g-1}_k; \end{CD}.$$

Esto nos da $g= g \circ f$, y dado que g es un monomorphism (cerrado de inmersión), llegamos a que $f=id_C$. Sin embargo, yo soy un poco inseguro de si esto es cierto, ya que el resultado parece un poco demasiado fuerte y me gustaría que la gente me diga si es malo, así que no confía en mí todo demasiado!