$f(0)=0$ $\lvert\,f^\prime (x)\rvert\leq K\lvert\,f(x)\rvert,$ implica que $f\equiv 0$.

Question

Voy a empezar con la indicación precisa del problema:

Supongamos que $f:[0,b]\to\mathbb{R}$ es diferenciable, $\,f(0)=0$, y que existe un número real $K\geq 0$ tal que $\lvert\,f^\prime(x)\rvert\leq K\lvert\,f(x)\rvert,$ para todos los $x\in [0,b]$. Demostrar que $f$ es idéntica a cero.

El problema proporciona la siguiente "sugerencia":

En primer lugar, muestran que no existe $\delta > 0$ tal que $f$ es cero en $[0,\delta]$.

Al principio pensé que la pista parecía un poco extraño, como de curso $\delta = b$ respondería a todo el problema. Pero entonces empecé a pensar que la sugerencia probablemente significaba que, si se podía demostrar que $f$ es de cero, incluso un pequeño (el lado derecho?) barrio de $0$, que sería suficiente para mostrar la $f$ debe seguir siendo cero. En particular, la desigualdad en el problema de la fuerza de $\lvert f^\prime(\delta) \rvert \leq K\lvert f(\delta)\rvert=0\implies f^\prime(\delta)=0$. Pero estoy atascado con qué hacer a continuación, porque por supuesto, esto no solo implica que el$f(x)=0$$x>\delta$.

Probar la sugerencia de sí mismo también ha evadido a mí. La redacción, para mí, implica que hay algún otro bien distinto de lo que las propiedades de demostrar el problema general, se puede utilizar para producir este $\delta$, porque de lo contrario, la sugerencia sería inútil. Mi primera idea fue usar el hecho de que $f$ es continua en a $0$ (e $f(0)=0$): Dado $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $0<x<\delta$ implica $\lvert\,f(x)\rvert<\varepsilon$. Me encuentro a mí mismo queriendo utilizar el Valor medio Teorema en este punto: no existe $c\in (0,\delta)$ tal que $f^\prime(c)=\dfrac{f(\delta)}{\delta}$. Podemos usar la desigualdad para producir

$$ \frac{\lvert\, f^\prime(\delta)\rvert}{K\delta} \leq\left|\frac{f(\delta)}{\delta}\right| =\lvert\, f^\prime(c)\rvert\leq K\lvert\, f(c)\rvert <K\varepsilon. $$

Ahora, se podría, por supuesto, el uso de $\varepsilon/K$ en la definición de continuidad, de modo que la anterior desigualdad de los extremos de la cadena con $\epsilon$ en lugar de $K\epsilon$, pero ese no es el verdadero problema: llegar $\lvert\, f(\delta)\lvert<\delta\varepsilon$ parece prometedor, hasta que me doy cuenta de que $\delta$ depende de $\varepsilon$, por lo que todo esto que realmente dice es que el $\lim\limits_{\delta\to 0^+}f(\delta)=0$, lo cual es bastante sorprendente.

Así que supongo que necesito ayuda con la sugerencia de sí mismo, así como la forma en que implica el resultado del problema. Se nota que este problema viene de un conjunto de problemas que se supone que en la integral de Riemann, pero no tengo idea de cómo la integración habría de venir hasta aquí. Creo que podría afirmar que cualquiera de las $f(x)\geq 0 \,\forall\, x$ o $f(x)\leq 0 \,\forall\, x$; de lo contrario, $f$ tendría un cero en un punto donde su derivada es distinta de cero, que contradice la desigualdad en el problema. Si pudiéramos demostrar que $\int_0^b f(x)\,dx=0$, entonces se sigue que $f$ es cero en $[0,b]$, pero no veo qué podría decirse acerca de la integral a partir de los supuestos en los que tenemos.

Answer 1

Deje $g(x)=\int_0^x\lvert \,f'(t)\rvert\,dt$. A continuación,$g(x)\ge \lvert \,f(x)\rvert$, y por lo tanto $$ 0\le g'(x)\le Kg(x), $$ para todos los $x\in [0,b]$. Así $$ \mathrm{e}^{-Kx}\big(g'(x)-Kg(x)\big)\le 0,\quad\text{para todos los $x\in [0,b]$,} $$ y por lo tanto $$ \big(\mathrm{e}^{-Kx}g(x)\)'\le 0,\quad\text{para todos los $x\in [0,b]$,} $$ lo que implica que $\mathrm{e}^{-Kx}g(x)$ es decreciente, y por lo tanto $$ 0\le \mathrm{e}^{-Kx}g(x)\le g(0)=0, \quad\text{para todos los $x\in [0,b]$.} $$ Esto implica que $$0=g'(x)=\lvert\,f'(x)\rvert=0,$$ and finally that $f\equiv 0$.

Nota. Hemos asumido que $f'$ es integrable. Sin este supuesto, se puede demostrar que: Deje $h(x)=f^2(x)$. Entonces $h(0)=0$, $h(x)\ge 0,$ para todos los $x\in[0,b]$, y $$ h'(x)=2f(x)f'(x)\le 2\lvert\,f(x)\rvert\lvert\,f'(x)\rvert\le 2K \lvert\,f^2(x)\rvert=2K h(x). $$ Por lo tanto $$ \mathrm{e}^{-2Kx}\!\a la izquierda(h'(x)-2Kh(x)\right)\le 0 \quad\text{o}\quad \left(\mathrm{e}^{-2Kx}h(x)\right)'\le 0, $$ lo que significa que $\mathrm{e}^{-2Kx}h(x)$ está disminuyendo. Así $$ 0\le \mathrm{e}^{-2Kx}h(x)\le h(0)=0. $$ Por lo tanto,$h(x)=0$, para todos los $x$, y, en consecuencia,$f\equiv 0$.

Answer 2

A) Una sugerencia para la sugerencia: Elija $\displaystyle \delta=\frac{1}{2K}$. Supongamos que $f$ no es cero en $[0,\delta]$. Deje $M={\rm Sup}\{|f(x)|, x\in [0,\delta]\}$. Existe $d\in [0,\delta]$, $d>0$ tal que $|f(d)|=M>0$. Existe $c\in ]0,\delta[$ tal que $f(d)=df^{\prime}(c)$. Ahora el uso de la hipótesis.

B) Una pista a seguir: Poner $g(x)=f(x+\delta)$.

Answer 3

Si $K=0$, entonces el problema está resuelto, así que asumen $K > 0 $ , existe una partición $P=\{x_0,x_1,...,x_n\}$ $[0,b]$ tal que $$K(x_i-x_{i-1})<1$$Assume $||f||_\infty$ and $||f||_\infty$ be supperimum of $|f|$ and $|f'|$ on $[x_0,x_1]$ it is obvious that $$||f'||_\infty \le K||f||_\infty$$ there exists $u$ such that $x_0<u \le x_1 $ and $$f(u)=||f||_\infty$$ now with the help of mean value theorem there exist $c$ such that $x_0<c \le u$ and $$||f||_\infty=|f(u)|=|f(u)-f(x_0)|=|u-x_0||f'(c)|<\frac{1}{K} K ||f||_\infty= ||f||_\infty$$ so $||f||_\infty=0 $ so f is zero on $[x_0,x_1]$ and similarly in every $[x_i,x_{i-1}]$.

Answer 4

Si $f(x) > 0$ $$\left (\vert f(x) \vert e^{-Kx} \right)'= e^{-Kx} \left (f'(x)-Kf(x) \right ) \leq 0$$ del mismo modo, si $f(x) \leq 0$ $$\left (\vert f(x) \vert e^{-Kx} \right)'= e^{-Kx} \left (-f'(x)+Kf(x) \right ) \leq 0$$ lo que implica $\left (\vert f(x) \vert e^{-Kx} \right) \leq \left (\vert f(0) \vert e^{-K(0)} \right) = 0$ y, por tanto, $f(x) = 0$

(La de arriba de las desigualdades y el enfoque son similares a los de Gronwall Lema)

Answer 5

La condición dada implica que $-K \leq {d \over dx} \log |f(x)| \leq K$ donde $f(x)$ es distinto de cero. Pero el conjunto de $x$ que $f(x)$ es distinto de cero es un conjunto abierto, y por lo tanto es una contables de la unión de los intervalos (si no vacío. Si $I$ es uno de esos intervalos y $x_0$ es un extremo de $I$, $\lim_{x \rightarrow x_0} \log |f(x)| = -\infty$ desde $f(x_0) = 0$, lo que se contradice con que $-K \leq {d \over dx} \log |f(x)| \leq K$.