Significado físico de Ito integrales

Question

Estoy teniendo problemas para conseguir mi cabeza alrededor del significado de la estocástico Ito integral. Específicamente: el significado intuitivo de "Estocástico Integral" para mí es una función que toma un tiempo de $t$ y devuelve un PDF para la integral de un proceso estocástico en $[0,t]$. Es este hecho lo que Ito integrales modelo? Si es así, estoy confundido acerca de por qué Ito integrales depende de dos procesos estocásticos (integrar Un proceso con respecto al proceso B). ¿Cómo funciona el sentido de la integral de cambio cuando el proceso B cambios?

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Estoy lejos de ser un experto aquí, pero he estado aprendiendo acerca de este campo, por lo que pensé que podría compartir!!! NB no estoy tratando de ser riguroso, acaba de obtener la ideas.

Primero vamos a pensar en un "estándar" de Riemann integral,

$\int\limits_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x$

interpretamos esto como el límite de una suma de las áreas de igualmente espaciados, cajas, cada una con ancho de $\Delta x$ y de altura igual al valor de la función, entonces vamos a $\Delta x\rightarrow 0$. Así, como una aproximación:

$\int\limits_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x \approx \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(t_i)(x_{i+1}-x_i)$,

donde el $x_i$s es una partición del intervalo $[a,b]$ $t_i$ es un valor en algún lugar en el intervalo de $[x_i,x_{i+1}]$.

Ahora vamos a tomar un estocástico Ito integral de un no-aleatorio proceso, $f(t)$:

$\int\limits_{0}^{t} f(s)\,\text{d}B(s)$,

donde $B(s)$ es un proceso aleatorio (normalmente el movimiento Browniano). Esto no es un PDF, es en realidad una variable aleatoria sí mismo. Podemos aproximar esta en la misma manera como una integral de Riemann, es decir, la suma de las áreas de cajas:

$\int\limits_{0}^{T} f(s)\,\text{d}B(s) \approx \sum\limits_{k=0}^{n-1}f(t_i)(B(t_{i+1})-B(t_i))$,

donde el $t_i$s es una partición del intervalo de tiempo $[0, T]$ a $n$ segmentos. Obviamente, el mayor $n$, mejor será la aproximación. Mirando la expresión, podemos ver que es bastante similar a la integral de Riemann, pero ahora los mismos intervalos, mientras que regularmente espaciados en $t$, son de ancho aleatorio. Y una suma de variables aleatorias es en sí misma una variable aleatoria.

Que sería genial si hubiera un diagrama que muestra estas ideas (es decir, dibujar las cajas), pero no estoy seguro de cómo exactamente a dibujar.

Si nosotros tomamos la integral de Ito de un azar proceso, $X(t)$, entonces tenemos que reemplazar $f(t_i)$ con una variable aleatoria $X(t_i)$ (creo que hay varias condiciones que tienen que cumplir como bueno, voy a ignorar estas aquí para la imagen general de la situación), por lo que la integral de Ito se convierte en una suma de productos de variables aleatorias, pero una vez más que una variable aleatoria.

Para responder a tu pregunta final: cambiar el proceso de $B$ significa cambiar el proceso que genera nuestro cuadro anchos, y por lo tanto el cambio de las propiedades estadísticas de la integral.

Espero que esta ayuda, quedo a la espera de alguien mucho más informado que venga y me diga que todo mal!

Answer 2

Creo que el problema aquí es notacional (o abuso de notación). Nunca me he convencido a mí misma de que lo que se llama $dW_t$ es una k-forma (1) diferencial.

Iniciar con un proceso de Wiener, $W_t$. Si exigimos $W_t=0$ $t=0$ y a las $t=1$ tenemos $W_t=W_1\sim N(0,1)$ (distribución de una normal de RV con media cero y varianza la unidad), imaginar el primero en romper esa primera unti el tiempo a la mitad. Luego, para cada semestre, $\Delta W_t \sim N(0,\frac{1}{2})$. Ahora sólo mantener romperlo, y el infinitessimal cambio se convierte en lo que llamamos $dW_t$. Ahora tenemos nuestro "verdadero" proceso de Wiener, donde $W_t$ es la suma de una infinidad de poco $dW_t$'s.

Supongamos que tenemos que construir una nueva función de $f(t,W_t)$ como una función de las dos variables. En el caso determinista, podemos decir $df=\frac{\partial f(t,W_t)}{\partial t}dt+\frac{\partial f(t,W_t)}{\partial W_t}dW_t$, ya que se puede ignorar de orden superior Taylor términos. Sin embargo, estocástica en el mundo de la segunda parciales es, por desgracia, no $O(dt^2)$ pero $O(t)$: $\frac{\partial^2 f(t,W_T)}{dW_t^2}$. (Ver Oskedahl o Shreve.)

Afortunadamente, en el "cuadro de cálculo" (Google) $dW_T^2=dt$, por así decirlo.

Por lo tanto, una expansión de Taylor tiene lo que parece ser una de segundo orden, término que debe ser preservado.

Todos estocástica de cálculo es simplemente tomar ese término adicional en la cuenta. Para ver esto de búsqueda para 'cuadrático de variación, así como la búsqueda en las anteriores referencias. Al menos uno de los pdf que he encontrado hizo un gran trabajo de explicar por qué el 'determinista' parte, o determinstic Taylor expansiones, no tienen esta rareza: es muy simple, para una función determinista, reorganizar la expansión de Taylor y $f(x)-f(0)=f'(x)dx+f''(x)dx^2+...$ y sabemos que podemos tirar términos con $dx^2$ si integramos la expansión de Taylor (y, en el caso multivariante, $f_{W_t W_t}$ no consigue tirar...).

Espero que ayude.

Answer 3

Estoy confundido acerca de por qué Ito integrales depende de dos procesos estocásticos (integrar Un proceso con respecto al proceso B). ¿Cómo funciona el sentido de la integral de cambio cuando el proceso B cambios?

Ya (determinista) Stieltjes integrales $\int\limits_0^tu(t)\mathrm dv(t)$ depende de dos funciones de $u$$v$.