La convergencia de la secuencia de funciones, $f_n(x) = n^2 x(1-nx) \dots $

Question

Haciendo un ejercicio para la preparación del examen, me topé con la siguiente función:

$f_n(x)= n^2x(1-nx), \quad \text{if }0 \leq x \leq \frac{1}{n} $

$f_n(x)= 0, \quad \text{if } \frac{1}{n} < x \leq 1$

La tarea es encontrar el límite de esta función de serie y para determinar si esta función converge uniformemente en $[0,1]$

Por un lado $\frac{1}{n}$ enfoques $0$$n \to \infty$. Así que uno sólo tiene que insertar $0$$n^2x(1-nx)$. Ganándose $f_n(x) = 0$$n \to \infty$.

Por otro lado, la función tiene un máximo para $x=\frac{n}{2}$. La puesta en $n^2x(1-nx)$ y el cálculo de $f_n(x)$ $n \to \infty$ después de que uno se $f_n(x) = \infty$.

Así que lo que es correcto? Cómo se hace un planteamiento de un problema?

Gracias de antemano

ftiaronsem

Answer 1

Me gustaría animamos a hacer un dibujo de la gráfica de $f_{n}$.

Su argumento de que $f_{n} \to 0$ no es muy correcto. Yo diría de la siguiente manera:

Tenemos $f_{n}(x) \to 0$ $(n \to \infty)$ todos los $x \in [0,1]$. Esto es claro para $x = 0$ $x > 0$ tenemos $f_{n}(x) = 0$ todos los $n$ tan grande que $\frac{1}{n} < x$.

Si $f_{n} \to f$ uniformemente en $[0,1]$ $f_{n} \to f$ pointwise, por lo tanto debemos tener $f = 0$.

Por otro lado, la función de $f_{n}$ tiene un máximo en $\frac{1}{2n}$ (no $\frac{2}{n}$ como has escrito en tu pregunta), así como por la diferenciación, por ejemplo. La evaluación da \[ f_{n}(\frac{1}{2n}) = n^{2} \frac{1}{2n} ( 1 - n\frac{1}{2n}) = \frac{n}{4} \] Por lo tanto \[ \sup_{x \in [0,1]} |f_{n}(x) - f(x)| = \sup_{x \in [0,1]} |f_{n}(x)| = \frac{n}{4} \xrightarrow{n \to \infty} \infty \] y, por tanto, $f_{n}$ no converge uniformemente a $f = 0$.

Answer 2

La función de límite de $f(x) = 0 \quad \forall x \in [0,1]$ porque, como $n \rightarrow \infty$ tenemos que la región en la que la secuencia es $n^2 x(1-nx)$ es siempre más pequeños y más pequeños (esta es una buena manera de acercarse a una de las secuencias con las condiciones de frontera que involucran $n$).

Como para la convergencia uniforme, usted debe tomar el supremum de $x \in [0,1]$, y dado que la función tiene un maxmimum dentro del intervalo, se puede decir que el $\sup_{x \in [0,1]}\left| n^2 x(1- n x)\right| = \frac{n}{4}$, y si $n \rightarrow \infty$ que no se aproxima a cero, por lo que la convergencia no es uniforme.