Hallar el mayor número entero $k$ para lo cual $1991^k$ divide $1990^{{1991}^{1992}}+1992^{{1991}^{1990}}$

Question

Hallar el mayor número entero $k$ para lo cual $1991^k$ divide $$1990^{{1991}^{1992}}+1992^{{1991}^{1990}}$$

Es fácil ver que $k \geq 1$ como $1990 \equiv -1$ y $1992 \equiv 1 \pmod{1991}$ Además, pensé que tal vez como $1991$ es el producto de dos primos distintos, valdría la pena buscar valores pequeños de $(pq)^k||(pq-1)^{{pq}^{pq+1}}+(pq+1)^{{pq}^{pq-1}}$ para primos $p$ y $q$ . Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Sea $a=1991$ y que $$b=(a-1)^{ a^{a+1} } + (a+1)^{ a^{a-1} }$$

El objetivo es calcular $\nu_{a}(b)$ . Para ello, evaluaremos $b$ modulo $a^{a+1}$ .

Aplicación de expansiones binomiales, $$b\equiv (-1)^{a^{a+1}} + 1 + a^{a-1} a\mod{a^{a+1}}$$ (porque todos los términos de orden superior desaparecen).

Desde $a^{a+1}$ es impar, esto se simplifica a $$b \equiv a^a\mod{a^{a+1}}$$ Por lo tanto, $\nu_{a}(b)=a$ . Para decirlo con la terminología de su pregunta, $k=1991$ .

Answer 2

Demostraré un resultado más general: Sea $n>1$ sea un número entero positivo impar. Entonces $n^n \|[(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}}]$ .

Prueba: \begin{align} (n-1)^{n^2}+(n+1)=\sum_{i=0}^{n^2}{\binom{n^2}{i}(-1)^{n^2-i}n^i}+(n+1) & \equiv \binom{n^2}{1}n-1+(n+1) \pmod{n^2}\\ & \equiv n \pmod{n^2} \end{align}

Aplicando ahora Elevación del lema del exponente en cada factor primo de $n$ tenemos $n^n \|[(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}}]$ .

Para tu caso especial, $k=1991$ .