Encontrar todos los $n$ tal que $1,2,3, \cdots, n$ puede organizar en torno a un $n$de lados del polígono de tal manera que cualquier suma de tres números consecutivos es aún.

Question

Primero que todo este es mi primer pregunta en Stackexchange, así que, lo siento por los errores si los hay. Quiero señalar, que este no es mi tarea. Me estoy preparando para un examen por hacer exercies y tengo un problema con este:

Hay números de $1,2,\cdots,n$ están situados en los vértices de un regular $n$de lados del polígono. Son dispuestos de una manera especial: la suma de los números que se encuentran en cada 3 posterior vértices del mencionado polígono es aún. Encontrar todos los números naturales $n\ge3$ para que este tipo de arreglo es posible.

Yo estaría muy agradecido si usted proporciona algunas pistas, sugerencias o darme una solución completa (si es posible). Sólo quiero entender tren de pensamiento.

Muchas gracias.

Saludos cordiales, Sarah

Answer 1

Considere la posibilidad de la "paridad" (incluso-ness o impar-ness) de los números de tres vértices consecutivos.

La suma tiene que ser uniforme, por lo que todos ellos no pueden ser impar y que no puede tener un número impar. Las posibilidades son todas iguales o dos impares y uno par. Si los tres son, incluso, el de aquellas que están en el lado de la triple, y así es necesario que el siguiente, y así sucesivamente. Esto significa que todos los números en el polígono debe ser, incluso, que no es posible para $1,2,\ldots,n$. Por lo tanto, los números en el triple no son todas iguales.

Así que tenemos a dos de ellos impar y uno de ellos incluso, OOE. El otro lado de la aún debe ser impar. Vemos que la paridad patrón en todo el polígono debe ser OOEOOEOOE.... Hay el doble de los números impares como incluso. La única $n$ para los que esto es posible es $n=3$, de modo que el patrón es $1,2,3$.

Por lo tanto, $n=3$ es la única posibilidad.

Answer 2

Sugerencia: Si $a_1,a_2,a_3,a_4$ son los números a los cuatro vértices consecutivos, a continuación, $a_1+a_2+a_3$ $a_2+a_3+a_4$ son uniformes, por lo tanto $a_1\equiv a_4\pmod 2$. ¿Qué sucede si $n$ es un múltiplo de a $3$? ¿Qué sucede si $n$ no es un múltiplo de a $3$?

Answer 3

Asumir que hay un acuerdo de esa $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ en un círculo en sentido horario organizado .

Ahora toma un poco de $x_k$ y observar que $x_k+x_{k+1}+x_{k+2}$ también $x_{k+1}+x_{k+2}+x_{k+3}$ son números pares. Esto significa que $x_k$ $x_{k+3}$ tienen la misma paridad : $$x_k \equiv x_{k+3} \pmod{2}$$ for every $k$ .

Ahora la usan para obtener (tenga en cuenta que $x_{n+1}=x_1 , x_{n+2}=x_2 $ etc, porque estamos en un círculo ) :

$$x_1 \equiv x_4 \equiv \ldots \equiv x_{3l+1} \pmod{2}$$ for every $l$ .

Ahora si $n$ no es divisible por $3$, entonces hay algo de $a$ tal que $$an \equiv 1 \pmod{3}$$ (por Bezout )

por lo $an=3b+1$$b$ .Ahora solo tienes que poner $l=b$ para obtener :

$$x_1 \equiv n_{3b+1}\equiv x_{na} = x_{n}\equiv x_3\pmod{2}$$

También por Bezout hay algunos $c$ $d$ tal que $cn=3d+2$ a fin de poner $l=d$ para obtener :

$$x_1 \equiv x_{3d+1}=x_{cn-1}=x_{n-1} \equiv x_2 \pmod{2}$$

Pero entonces :

$$x_1 \equiv x_2 \equiv x_3 \equiv x_4 \equiv \ldots \equiv x_n \pmod{2}$$ de modo que todos los números tienen la misma paridad que es falso . Por lo $n$ debe ser divisible con $3$ (indicar $n=3k$ ).

Sabemos también que a $x_1 \equiv x_4 \equiv \ldots x_{3k-2} \pmod{2}$ y los análogos de $x_2$ , $x_3$ .

Si $x_1 , x_2 , x_3$ son incluso tenemos una contradicción de nuevo .Así que incluso uno de ellos es y los otros dos son impares . El uso de las congruencias esto significa que no se $k$ incluso números y $2k$ números impares de$1$$n$. Pero ellos no difieren en más de $1$ así : $$2k-k \leq 1$$ $k \leq 1$ $n=3$ es la única solución (y la construcción es simple )