Una Pregunta sobre el Teorema de Fubini

Question

El Teorema de Fubini dice:

Si la función $f:X \times Y \rightarrow R$ es integrable sobre $X \times Y$, luego $$ \int_{X \times Y}f(x,y)dxdy = \int_{X}dx\int_{Y}f(x,y)dy = \int_{Y}dy\int_{X}f(x,y)dx. $$

Mi pregunta es: Si $\int_{X}dx\int_{Y}f(x,y)dy = \int_{Y}dy\int_{X}f(x,y)dx$, podríamos decir $f:X \times Y \rightarrow R$ es integrable sobre $X \times Y$?

Si es así, puedo conseguir: Si $\int_{X}dx\int_{Y}f(x,y)dy = \int_{Y}dy\int_{X}f(x,y)dx$, luego $$ \int_{X \times Y}f(x,y)dxdy = \int_{X}dx\int_{Y}f(x,y)dy = \int_{Y}dy\int_{X}f(x,y)dx. $$

Answer 1

En primer lugar, su deseada de la declaración es verdadera, siempre que se cumplan las siguientes condiciones

1. $f \geq 0$,
2. $f$ es medible (w.r.t. el producto $\sigma$-álgebra),
3. $X,Y$ $\sigma$- finito medir los espacios.

La exacta statemement (a veces llamado del teorema de Tonelli, o la Fubini-Tonelli-teorema) es que si

$$ \int \int f(x,y) \, dx\, dy < \infty, $$

a continuación, $f$ es integrable w.r.t. el producto de la medida y de

$$ \int \int f(x,y) \, dx \, dy = \int \int f(x,y) \, y \, dx. $$

Si uno de los dos primeros condiciones de falla, se puede construir contraejemplos. Probablemente, esto también es cierto en el no $\sigma$-en el caso finito, pero voy a tener que pensar acerca de eso.

En cuanto a la primera condición, tener en cuenta (este es un clásico contraejemplo)

$$ f : \Bbb{R} \times \Bbb{R} \\Bbb{R}, (x,y) \mapsto \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2}, $$

donde ambos espacios se $\Bbb{R}$ están equipados con la costumbre medida de Lebesgue.

Entonces es fácil ver que para cada una de las $x \neq 0$, tenemos

$$ \int f(x,y) \, dy = 0 \text{ (en particular, la integral existe)}. $$

Esto se basa en el hecho de que fácil que se estima la existencia de la integral y que $f(x, -y) = - f(x,y)$.

Asimismo,

$$ \int f(x,y) \, dx = 0 \text{ para cada uno de ellos fijo } y \neq 0. $$

En conjunto, esta muestra

$$ \int \int f(x,y) \, dx \, dy = 0= \int \int f(x,y) \, y \, dx, $$

pero $f$ no es integrable sobre $\Bbb{R}^2$, debido a la introducción de coordenadas polares muestra

\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^{2}}\left|f\left(x,y\right)\right|\, d\left(\begin{matrix}x\\ y \end{de la matriz}\right) & = & \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}r\cdot\frac{\left|r\cdot\cos\left(\varphi\right)\cdot r\cdot\sin\left(\varphi\right)\right|}{\left(r^{2}+r^{2}\right)^{2}}\,{\rm d}r\,{\rm d}\varphi\\ & = & \underbrace{\int_{0}^{2\pi}\left|\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)\right|\,{\rm d}\varphi}_{>0\text{ porque integrando continua y no de forma idéntica }0}\cdot\underbrace{\int_{0}^{\infty}\frac{r^{3}}{4r^{4}}\,{\rm d}r}_{=\infty}=\infty. \end{eqnarray*}

Para la segunda condición (measurabiliy w.r.t. el producto $\sigma$-álgebra), es un ejemplo notable construido por Sierpinski (ver https://eudml.org/doc/212592pero el papel está en francés), que muestra la siguiente (cita de Folland "Análisis Real"):

Usando el axioma de elección, pero no la hipótesis continua, Sierpinski ha demostrado la existencia de un Lebesgue nonmeasurable subconjunto de $\Bbb{R}^2$, cuya intersección con cualquier línea recta contiene al menos dos puntos.

Llamemos a este conjunto $M$. Las propiedades mencionadas anteriormente implican que $\chi_M (x,y) = 0$ para cada uno de ellos fijo $x$ y todos, pero (en la mayoría) de dos puntos de $y$ (dependiendo $x$). Una declaración similar se tiene para cada uno de ellos fijo $y$. Aquí, $\chi_M$ es la función característica/función de indicador de la set $M$. Este rendimientos

$$ \int \int \chi_M \, dx \, dy = 0 = \int \int \chi_M \, dy \, dx, $$

pero $\chi_M$ no es integrable w.r.t. el producto de la medida, porque no es medible w.r.t. el producto (incluso a los de Lebesgue) $\sigma$-álgebra.