La descomposición de valor Singular sobre campos finitos?

Question

¿Cuál es la definición de un valor singular sobre un campo finito $\mathcal{F}$ de una matriz de ${\bf A}$$\mathcal{F}^{m\times n}$? Hay una intuición geométrica de la misma manera como con el caso real donde los autovalores son los radios de la elipse $\frac{\|{\bf A}{\bf x}\|^2}{\|{\bf x}\|^2}$?

Answer 1

No hay ninguna definición de un valor singular de una matriz sobre un campo finito. Usted podría definir a ser un no-cero autovalor de a $A^TA$, pero esto en realidad no funciona como cabría esperar.

Sobre los reales, los autovalores de a $A^TA$ son no negativos y el menor valor singular es una medida de cuán cerca de $A$ es no ser una matriz invertible. Además, hay estable algoritmos para calcular, considerando que no podemos calcular el rango de $A$ en forma estable.

Sobre los números complejos, utilice los valores propios de a ${\bar A}^TA$ como valores singulares de en lugar de los valores propios de a $A^TA$. Sobre campos finitos puede usar $\sigma(A^T)A$, donde $\sigma$ es un campo automorphism. Este es un problema, hemos de mineral de elección que hacemos sobre los reales y los complejos.

No hay ninguna dificultad en la computación de los rangos de más de matrices sobre campos finitos de todos modos.

Sobre campos finitos, los autovalores son de uso limitado. Podemos obtener el polinomio característico de una matriz, y el factor; los ceros de los factores son los autovalores. Estos autovalores se encuentran en algunos de extensión de la $E$ de su campo finito $F$; si me llegó con $E$ y preguntó qué elementos de $E$ fueron los autovalores, tendría un montón de trabajo y su final respuesta dependerá de exactamente como me lo describió $E$. (Incluso a través de los reales, los autovalores son útiles si la matriz es pequeña o normal, pero son mucho menos utilizar de otra manera. Google 'pseudospectra')