¿Por qué hay resultados contradictorios sobre la integración?

Question

Utilizando mi calculadora, había intentado evaluar la integral definida $$\int_{0}^{1}x^x \mathbf{d}x$$ Sin embargo, según mi CASIO $fx-570$ ES, el resultado fue ERROR Matemático, lo que me llevó a pensar que la integral definida no existe en absoluto, o era infinita.

Por el contrario, Wolframalpha mostraron resultados diferentes. ¿Por qué difieren los resultados de ambas calculadoras? No encuentro la razón de la diferencia.

Answer 1

La función $f(x) = x^x$ para $x > 0$ y $f(0) = 1$ está bien definida, es continua y está acotada entre $0.5$ y $1$ en el intervalo $[0, 1]$ por lo que la integral existe.

Si se puede expresar en términos de constantes "agradables" es una cuestión bastante diferente; en particular, es probable que su calculadora no esté satisfecha con la singularidad (aparente pero no realmente existente) en cero.

En cuanto al cálculo de la integral, podría simplemente integrar en $[0.1, 1]$ (se garantiza que es correcta con un error máximo de $0.1$ ), $[0.001, 1]$ (se garantiza que el error sea como mínimo $0.001$ ), y así sucesivamente; estoy seguro de que esto se acercará bastante al resultado de Wolfram Alpha si se elige un umbral lo suficientemente pequeño.

Como dato curioso, esto está relacionado es el llamado el sueño de un estudiante de segundo año que da una representación en serie para la integral, aproximadamente alrededor de $0.783$ .

Answer 2

La integral indefinida $\int x^x dx$ no existe (ningún resultado en funciones matemáticas estándar y conocidas). Pero existe una expresión en serie de la misma que puede estimar-definir valores aritméticos. Busca : int x^x como entrada en Wolfram Alpha para echar un vistazo a esa expansión en serie. También respondiendo al por qué no existe, hay funciones que aún siendo continuas, no pueden ser integradas indefinidamente. Una más de ellas es : $\int e^{-x^2} dx$ .