martingala y la expectativa

Question

El siguiente es un antiguo examen de problema:

Vamos $\{X_n\}$, $n\geq0$, ser un proceso adaptado a una filtración $F_n$. Demostrar que $(X_n,F_n)$ es una martingala, si y sólo si para todos los delimitada $F_n$-tiempo de parada $\tau$, $EX_{\tau}=EX_0$ sostiene.

Sé si $X_n$ es una martingala, entonces $X_{\tau}$ es una martingala opcional de frenado teorema. Por lo tanto $E(X_{\tau})=E(E(X_{\tau}|F_{0}))=E(X_0)$. Sin embargo, tengo problemas con la conexión a la expectativa de la esperanza condicional en el otro sentido. Parece que se necesita un poco de forma inteligente para definir $\tau$, mientras que no he pensado en uno. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Deje $A \in F_{n-1}$ y definen $\tau =n-1$ en $A$,$\tau =n$ en $A^c$. Compruebe que este es un tiempo de paro.

Ahora

$$ E(X_{n-1} 1_A) +E(X_n 1_{A^c}) =E X\tau= EX_0 = E X_n = E(X_n 1_A) + E(X_n 1_{A^c}), $$ que muestra lo que usted desea (por qué?).