Si $a,b,c$ son positivas reales, demostrar que $(a+b)(a+c)\ge 2 \sqrt {abc(a+b+c)}$

Question

Si $a,b,c$ son positivas reales, demostrar que $(a+b)(a+c)\ge 2 \sqrt {abc(a+b+c)}$

Mis intentos:
Mediante la aplicación de AM-GM de la desigualdad,
$$a+b\ge 2\sqrt {ab}$$ y, $$a+c\ge2\sqrt{ac}$$ y claramente LHS $=a^2+ac+ba+bc$, $\ge4a\sqrt{bc}$
Del mismo modo, $(b+a)(b+c)\ge4b\sqrt{ac}$ $(c+a)(c+b)\ge4c\sqrt{ab}$
¿Qué es lo siguiente?(Me dio el Cauchy Schwarz etiqueta, porque no sé si esto puede ser resuelto por Cauchy Schwarz desigualdad.)

Answer 1

Ha $$a(a+b+c) + bc \geq 2\sqrt{abc(a+b+c)}.$$