Es $2^m + 1$ nunca una potencia de 3, para $m > 3$?

Question

Deje $m,n \in \mathbb{Z}$. Para$m > 3$,$2^m + 1 = 3^n$?

Answer 1

Si $m\gt1$, $2^m+1\equiv1$ mod $4$, lo que implica $2^m+1$ sólo puede ser incluso el poder de $3$, decir $3^{2n}$. Pero, a continuación,$2^m=3^{2n}-1=(3^n+1)(3^n-1)$, lo que implica $3^n+1$ $3^n-1$ son ambos poderes de $2$. Esto es sólo el caso de $n=1$.

Observaciones: Se Jagy la respuesta es bien vale la pena leer, porque su enfoque se aplica en un gran número de opciones en las que la solución no se puede obtener simplemente como aquí. Y con respecto a Ross al & c en la mención de catalán, siempre es bueno saber cuando hay un mazo disponible....

Answer 2

Hice una serie de estos por un método consistente en septiembre y octubre de 2016, algunos enlaces de abajo. Siempre me ha gustado ese $343 = 243 + 100;$ uno de los enlaces que muestra que es la mayor solución a $7^u - 3^v = 100. $ Yo no había hecho esta, al parecer. A continuación es la investigación por medios elementales. Dame un poco de tiempo, voy a componer el resultado.

El ingrediente principal utilizado es el orden multiplicativo, vea la propiedad (1) en este jpeg:

Tenemos $$ 3^u = 2^v + 1. $$ Subtract $9$ de ambos lados, tenemos $$ 3^u - 9 = 2^v - 8. $$ Tomando $u = x + 2$ $v = 3 + y$ da $9 \cdot 3^x - 9 = 8 \cdot 2^y - 8,$ o $$ 9 (3^x - 1 ) = 8 (2^y - 1). $$ We think this is only possible with $x=y=0,$ so we assume there is a solution with $x,y > 0$ and get a contradiction.

First we have $9 |(2^y - 1),$ or $$ 2^y \equiv 1 \pmod 9.$$ This tells us that $ 6 | y. $ Mientras tanto $$ 2^6 - 1 = 63 = 3^2 \cdot 7. $$ Therefore $7 | (3^x - 1).$ In turn, we find $6 | x.$

Siguiente $$ 3^6 - 1 = 728 = 2^3 \cdot 7 \cdot 13. $$ Therefore $13 | (2^y - 1).$ In turn, we find $12 | y.$

Siguiente $$ 2^{12} - 1 = 4095 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13. $$ Therefore $5 | (3^x - 1).$ In turn, we find $4 | x.$

Finally, $3^x - 1$ is divisible by $3^4 - 1 = 80.$ En particular, $3^x - 1$ es divisible por $2^4 = 16.$ sin Embargo, esto se contradice $2^y - 1 \neq 0$ $y > 0.$ $$ \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc $$

This method does well when the numbers are not too large.

Exponential Diophantine equation $7^y + 2 = 3^x$

Elementary solution of exponential Diophantine equation $2^x - 3^y = 7$.

Elementary solution of exponential Diophantine equation $2^x - 3^y = 7$.

Finding solutions to the diophantine equation $7^a=3^b+100$

9 ( 3^x - 1) = 8 ( 2^y - 1)
ASSUME x,y > 0.

jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 8
8     2 = 2
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2 9
9     6 = 2 * 3
jagy@phobeusjunior:~$ 
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 16
16     4 = 2^2
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2 27
27    18 = 2 * 3^2
jagy@phobeusjunior:~$ 

Given: 2 | x  ,    6 | y

WANT  4 | x  ,   9 | y
jagy@phobeusjunior:~$ ./prime_power_minus_one   2  6
    2^6 - 1    = 3^2  7
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3 7
7     6 = 2 * 3
=====================================
THEREFORE  6 | x  
jagy@phobeusjunior:~$ ./prime_power_minus_one   3  6
    3^6 - 1    = 2^3 7  13
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 2 13
13    12 = 2^2 * 3
==============================
Therefore 12 | y
jagy@phobeusjunior:~$ ./prime_power_minus_one   2  12
    2^12 - 1    = 3^2 5 7  13
jagy@phobeusjunior:~$ ./order 3  5
5     4 = 2^2
========================
Therefore 4 | x  

Therefore 16 | (3^x - 1). This contradicts 
9 ( 3^x - 1) = 8 ( 2^y - 1)  with x,y > 0.

Answer 3

No. Catalán de la conjetura (ahora Mihăilescu del teorema) dice que el único perfecto poderes que se diferencian por $1$ $3^2=9$ $2^3=8$ estoy seguro de que hay una forma mucho más simple prueba para este caso específico.