Los pedidos de los subgrupos de Infinito Profinite Grupos

Question

Esta pregunta es, en cierto sentido, equivalente a mi pregunta aquí. Una prueba de responder a esa pregunta, en el caso de la base de campo es perfecto.

Deje $G$ ser un profinite grupo de cardinalidad $\kappa$ donde $\kappa$ es un infinito cardenal. Es el caso de que para cada infinita cardenal $\mu \leq \kappa$ hay un subgrupo $H \subset G$ de cardinalidad $\mu$? Como seguimiento no hay necesidad de ser un subgrupo normal (tengo curiosidad acerca de esto)?

No tengo una buena intuición para infinito teoría de grupo y tengo aún peor comprensión de profinite grupos, por lo que me han hecho poco progreso en esta cuestión.

Edit: me parece que para un grupo de $G$, un subgrupo $H \subset G$ $g \in G \setminus H$ tenemos que $|\langle g,H\rangle|\leq \max\{\aleph_0,|H|\}.$ Esto parecería implicar que una inducción transfinita argumento podría responder a la pregunta de sí, en el caso general.

Answer 1

Deje $G$ ser una infinita grupo de cardinalidad $\kappa$. Entonces, más de ZFC, que puede mostrar:

1. Para cada uno de los infinitos cardenal $\lambda < \kappa$ hay una adecuada subgrupo de cardinalidad $\lambda$
2. En general no es adecuado subgrupo de cardinalidad $\kappa$
3. Si $G$ es profinite, no son propias de los subgrupos de todas las cardinalidades $\le \kappa$

Prueba: i) Elegir un subconjunto $X\subseteq G$ de cardinalidad $\lambda$. A continuación, $H := \langle X \rangle$ es un subgrupo de cardinalidad $\lambda$; en concreto, se trata de un adecuado subgrupo.

ii) $\mathbb{Z}_{p^\infty}:= \{z \in \mathbb{C}^\times\mid \exists n>0: z^{p^n}=1\}$ ($p$ un primer) es countably infinito, pero todo correcto subgrupos son finitos (Rotman, Introducción a la Teoría de Grupos, Teorema 10.13).

iii) En el profinite caso, $G=\varprojlim_N G/N$ donde $G/N$ es finito. Por lo tanto la cardinalidad de a$N$$\kappa$.