Demostrar que una unión finita de conjuntos cerrados también es cerrada

Question

Sea $X$ un espacio métrico. Si $F_i \subset X$ es cerrado para $1 \leq i \leq n$, prueba que $\bigcup_{i=1}^n F_i$ también es cerrado.

Estoy buscando una prueba directa de este teorema. (Ya conozco una prueba que primero muestra que una intersección finita de conjuntos abiertos también es abierta, y luego aplica la ley de De Morgan y el teorema "el complemento de un conjunto abierto es cerrado"). Ten en cuenta que el teorema no es necesariamente cierto para una colección infinita de cerrados $\{F_\alpha\}$.

Aquí están las definiciones que estoy utilizando:

Sea $X$ un espacio métrico con función de distancia $d(p, q)$. Para cualquier $p \in X$, el vecindario $N_r(p)$ es el conjunto $\{x \in X \,|\, d(p, x) < r\}$. Cualquier $p \in X$ es un punto límite de $E$ si $\forall r > 0$, $N_r(p) \cap E \neq \{p\}$ y $\neq \emptyset$. Cualquier subconjunto $E$ de $X$ es cerrado si contiene todos sus puntos límite.

Answer 1

Sean $F$ y $G$ dos conjuntos cerrados y sea $x$ un punto límite de $F\cup G$. Ahora, si $x$ es un punto límite de $F$ o $G$, está claramente contenido en $F\cup G$. Supongamos entonces que $x$ no es un punto límite de ambos $F$ y $G$. Por lo tanto, existen radios $\alpha$ y $\beta$ tales que $N_\alpha(x)$ y $N_\beta(x)$ no se intersecan con $F$ y $G$, respectivamente, excepto posiblemente en $x$. Pero si $r=\min(\alpha,\beta)$, entonces $N_r(x)$ no se interseca con $F\cup G$ excepto posiblemente en $x$, lo cual contradice que $x$ sea un punto límite. Esta contradicción establece el resultado. La prueba se puede extender fácilmente a una cantidad finita de conjuntos cerrados. Intentar extenderla a una cantidad infinita no es posible, ya que entonces el "min" será reemplazado por "inf", que no es necesariamente positivo.

Answer 2

Es suficiente demostrar esto para un par de conjuntos cerrados $F_1$ y $F_2$. Supongamos que $F_1 \cup F_2$ no es un conjunto cerrado, a pesar de que $F_1$ y $F_2$ sí lo son. Esto significa que falta algún punto límite $p$ de $F_1 \cup F_2$. Entonces existe una secuencia $\{p_i\} \subset F_1 \cup F_2$ que converge a $p$. Por el principio de las palomas, al menos uno de $F_1$ o $F_2$, digamos $F_1$, contiene infinitos puntos de $\{p_i\}$, por lo tanto contiene una subsecuencia de $\{p_i\}$. Pero esta subsecuencia debe converger al mismo límite, entonces $p \in F_1$, porque $F_1$ es cerrado. Así, $p \in F_1 \subset F_1 \cup F_2.

Alternativamente, si no desea utilizar secuencias, entonces algo así debería funcionar. Nuevamente, es suficiente demostrarlo para un par de conjuntos cerrados $F_1$ y $F_2$. Supongamos que $F_1 \cup F_2$ no es cerrado. Eso significa que hay algunos puntos $p \notin F_1 \cup F_2$ cuya vecindad contiene infinitos puntos de $F_1 \cup F_2$. Nuevamente, por el principio de las palomas, cada vecindad de este tipo contiene infinitos puntos de al menos uno de $F_1$ o $F_2$, digamos $F_1$. Entonces $p$ debe ser un punto límite de $F_1$; entonces $p \in F_1 \subset F_1 \cup F_2.

Answer 3

Aquí hay un método, que creo que es muy directo:

Compruebe primero que un conjunto contiene todos los puntos límite si y solo si cada secuencia convergente en el conjunto tiene un límite en el conjunto. Ahora tome una secuencia convergente en la unión finita. Dado que la unión es finita, uno de los conjuntos en la unión debe contener infinitos términos de la secuencia y, por lo tanto, una subsecuencia. Una subsecuencia de una secuencia convergente está convergiendo y converge al mismo punto. Por lo tanto, hay una subsecuencia convergente que se encuentra completamente en uno de los conjuntos de la unión finita y este conjunto contiene el límite ya que está cerrado. Entonces, el límite está en la unión finita, y hemos terminado.

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Editar:

Aquí hay una versión sin secuencias. Suponga que $F_1$ y $F_2$ están cerrados. Sea $x$ un punto límite de $F_1 \cup F2$. Hemos terminado si podemos demostrar que $x$ es un punto límite de $F_1$ o $F_2$. Si $x$ no es un punto límite de $F_1$, entonces hay un $\epsilon> 0$ tal que la bola de $\epsilon$ alrededor de $x$ no contiene ningún elemento de $F_1$. Por lo tanto, contiene un punto de $F_2$ y, por la definición de punto límite, para cada $\epsilon' > 0$, la bola de $\epsilon'$ contiene un elemento de $F_2$. Por lo tanto, $x$ es un punto límite de $F_2$.

Answer 4

Sean $A$ y $B$ conjuntos cerrados. Esto significa que $A = \overline{A}$ y $B = \overline{B}$. Dado que $\overline{A}\cup \overline{B} = \overline{A\cup B}$, se sigue que $A \cup B = \overline{A\cup B}$. Por lo tanto, $A\cup B$ es cerrado. Este resultado se puede extender a cualquier colección finita de conjuntos cerrados por inducción.