¿$\int_1^\infty\sin (\frac{\sin x}{x})\mathrm d x$ Divergen o no?

Question

¿$\int_1^\infty\sin (\frac{\sin x}{x})\mathrm d x$ Divergen o no? ¿Si converge, converge condicional o absolutamente? ¿Supongo que converge condicionalmente, también, creo que puede estar relacionado a $\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}{x}\mathrm d x$, pero no sé cómo empezar? Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Para cualquier $n\in\mathbb{Z}^+$ integral $\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^n\,dx$ puede ser explícitamente calculada (ver aquí, por ejemplo).

A partir de la aproximación a $\frac{\sin x}{x}\approx e^{-x^2/6}$, se espera que sea positivo y la decadencia como $\sqrt{\frac{3\pi}{2n}}$.

Estos hechos ya que, junto con el $\sin z$ siendo toda una función, que dan nuestros integral es convergente. Un argumento más convincente, tal vez, es que para cualquier $x\geq 1$ la desigualdad: $$ \left(1-\frac{1}{5x^2}\right)\cdot\frac{\sin x}{x}\leq \sin\left(\frac{\sin x}{x}\right)\leq\frac{\sin x}{x} $$ sostiene. Es el equivalente a $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx$, nuestra integral es convergente pero no absolutamente convergente.