SE INCLUYE EN LA SÍNTESIS

Question

Supongo que la pregunta lo dice todo. El **nimber* (https://en.wikipedia.org/wiki/Nimberel concepto, a veces llamado "ratas Sprague-Grundy números" encarna los "valores" de los cargos en el imparcial de juegos que pueden ser sumadas para formar grandes juegos. El ejemplo por excelencia es que en el juego de Nim, un montón con la $n$ marcadores tiene un nim-valor de $n$, a veces indicado (en la notación utilizada por Cnway, de Berlekamp, y Chico) como $\star n$.

Unimpartial ("partizan") los juegos también pueden tener valores de otros nimbers que se forman por la adición de números ordinarios para nimbers; asimismo, los valores tales como la $\uparrow$ ocurren cuando un juego se presenta a la izquierda-movimiento del jugador a $0$ y un correcto movimiento del jugador a $\star$. Así, por ejemplo, ${\uparrow} > 0$${\uparrow} > \star$, pero para cualquier número real positivo $p$, tenemos $p > {\uparrow}$.

Pero partizan de los juegos también pueden ser utilizados para definir la surrealista números (https://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number. Estos incluyen los equivalentes de todos los reales, así como los infinitos (y de todos los ordinales) y infinitessimals.

Pero en las páginas sobre el surreals, existe una notoria falta de mención de conceptos como $\star$$\uparrow$. Así son estos nimbers también se incluye en el surreals? Y si es así, ¿cómo se $\uparrow$ comparar con $+\epsilon$? (Si son comparables creo que uno debe decir $+\epsilon > {\uparrow}$ pero no estoy muy seguro, y es difícil para mí para construir un modelo de juego que responder a la pregunta.)

Answer 1

Surrealista números (o simplemente "números", para abreviar) son muy especiales tipo de juegos, es decir, que puede ser escrita en la forma $x=\{S\mid T\}$, donde cada elemento de a $S$ $T$ es un surrealista número y $s<t$ todos los $s\in S$ $t\in T$ (esta es una definición inductiva, puesto que usted ya sabe que los elementos de la $S$ $T$ son números para aprender que $x$ es un número). Usted puede probar por inducción que la costumbre de orden parcial en los juegos restringe a un orden total en los números; es decir, cualquiera de los dos números son comparables. Así que desde $0$ es un número y $\star$ es incomparable con $0$, $\star$ no puede ser un número. Lo mismo vale para todos los demás nimbers: la única nimber que es un surrealista número es $0$.

El juego de ${\uparrow}=\{0\mid\star\}$ no es un número, pero es comparable con todos los números. De hecho, es estrictamente menor que todos los números positivos (esto implica que no puede ser un número, ya que es positivo). Para probar esto, deje $x=\{S\mid T\}$ ser cualquier número positivo; vamos a demostrar que la Izquierda jugador puede ganar siempre $x-{\uparrow}=\{S\mid T\}+\{\star\mid 0\}$. Si la Izquierda va primero, que se puede mover a $x+\star=\{S\mid T\}+\{0\mid 0\}$. Derecho continuación, puede mover a cualquiera de las $t+\star$ algunos $t\in T$ o $x+0$. En el segundo caso, la Izquierda gana porque $x+0=x>0$. En el primer caso, a la Izquierda, a continuación, puede mover a $t+0=t$, y luego gana desde $t>x>0$ (desde $x$ es un número, satisface $s<x<t$ todos los $s\in S$$t\in T$).

Ahora supongamos que a la Derecha se va primero. Se puede mover a cualquiera de las $t-{\uparrow}$ algunos $t\in T$ o $x+0=x$. En el primer caso, la Izquierda gana por inducción desde $t$ es un número positivo. En el segundo caso, la Izquierda gana desde $x>0$.