Homomorphism entre finitely generado álgebra

Question

Deje $A,B,C$ son las coordenadas del anillo de tres afín variedades afín en el espacio a través de una algebraicamente cerrado de campo $k$, $B$ y $C$ son normales, y $i: A\longrightarrow B$ es un inyectiva $k$-álgebra homomorphism.

Si hay otro inyectiva $k$-álgebra homomorphism $\varphi$$A$$C$, podemos deducir que existe un homomorphism $\psi: B\longrightarrow C$ tal que $\varphi=\psi\circ i$ ?

Si tales homomorphism existe, es único ?

Answer 1

Si $B$ es finitely generado más de $k$, entonces es ciertamente finitely generado más de $A$, por lo que tenemos $B=A[x_1,\ldots,x_r]/I$ por algún ideal $I$. Además, $C$ se convierte en un $A$-álgebra a través de los morfismos $\varphi$. Ahora, tenemos un morfismos $\psi_c:A[x_1,\ldots,x_r]\to C$ $A$- álgebras para cada $c=(c_1,\ldots,c_r)\in C^r$ mediante la asignación de $x_i\mapsto c_i$. Si queremos un morfismos de $A$-álgebras $B\to C$, que necesita para asegurarse de que $I\subseteq\ker(\psi_c)$. Supongamos que $I\ne(1)$, porque de lo contrario tendríamos $B=0$, lo que sería raro.

Supongamos primero $A=k$. Si $k$ fueron algebraicamente cerrado, nos gustaría saber que hay un común cero $a=(a_1,\ldots,a_r)\in Z(I)$ y podríamos optar $c_i=\varphi(a_i)$. De hecho, parece que el infinito no es suficiente:

Deje $A=C=\mathbb R$$B=\mathbb C$. El problema es que usted no tiene álgebra de morfismos $\mathbb C\to \mathbb R$. Esto implicaría que puede asignar $i$ a algún elemento $\psi(i)\in\mathbb R$ que satisface $\psi(i)^2=\psi(i^2)=\psi(-1)=-1$.

Sin embargo, en el caso de que $k$ es algebraicamente cerrado y $A=k$, lo podemos hacer. Ahora, que no ofrece mucha esperanza: Incluso si $k$ es algebraicamente cerrado, $A$ no es necesariamente un algebraicamente cerrado extensión del campo.

Edit: tenga en cuenta que también hemos establecido que si ese $\psi$ existe, no tiene que ser único. Usted podría tener un montón de opciones para que tu $c$.

Answer 2

No. Deje $A:=k:=\Bbb R$, e $B:=\Bbb R^2$ con coordinatewise la multiplicación y la $C:=\Bbb C$.