Esta es una prueba válida de la desigualdad de triángulo?

Question

La desigualdad de probar:

$|a+b|\leq |a| + |b|$

Prueba:

1. $-|a| \leq a \leq |a|$

2. $-|b| \leq b \leq |b|$

Agregar 1 y 2 para obtener:

$-(|a|+|b|)\leq a+b\leq|a|+|b|$

$|a+b|\leq|a|+|b|$

La razón por la que estoy preguntando es porque esto parece la más sencilla prueba de todas las pruebas que he visto, pero rara vez se utiliza. Me pregunto por qué más "complicada" pruebas están siendo utilizados. Hay algo mal con esta prueba?

Answer 1

La prueba es, en efecto simple de a $x, y \in \mathbb{R}$. Las cosas se ponen más complicadas para $\mathbb{R}^n$ donde no se puede comparar a$x$$|x|$. Esto también es cierto para la métrica de los espacios en general.