La convergencia de una secuencia de 4

Question

Supongamos que hay una secuencia $\{ x_n \}$. Vamos a definir de otra secuencia $\{ y_n \} $ tal que $$y_n=2x_{n+1} - x_n$$ Please prove that if $\{y_n\}$ converges to $L$, then $\{x_n\}$ is convergent and also converges to $L$.

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He abordado este problema como:
Si yo considero que $\{x_n\}$ converge a $\alpha$, luego de tomar el límite, se puede demostrar que: $$L=\lim y_n = \lim (2x_{n+1}-x_n)=2\lim x_{n+1}-\lim x_n = 2\alpha-\alpha = \alpha$$

Sin embargo, estoy teniendo problema para demostrar que el límite de $\{x_n\}$ existe.

Answer 1

Tenemos que $x_{n+1} = \frac{1}{2} y_n + \frac{1}{2} x_n$. Esto puede ser inductivo a continuación para volver a escribir: $$ x_ {n+1} = \frac{1}{2} y_n + \frac{1}{4} y_{n-1} + \frac{1}{8} y_{n-2} + ... \frac{1}{2^n}y_1 + \frac{1}{2^n} x_1$$ Se puede ver a dónde ir desde aquí?

Edit: limpiador modo de pensar acerca de ella sin la gran suma aunque aproximadamente la misma estrategia. Fix $\epsilon > 0$ y supongamos que para $n \geq N$ tenemos $|y_n - L| < \epsilon$. Ahora, en particular, tenemos para todos los $n > N$:

$$ |x_{n} - L| < \frac{1}{2}|x_{n-1} - L| + \frac{1}{2}|y_{n-1} - L| < \frac{1}{2}|x_{n-1} - L| + \frac{\epsilon}{2} $$

Y de nuevo por inductivo sustitución podemos obtener:

$$ |x_{N + k}-L| < \frac{1}{2^k} |x_N - L| + \epsilon \frac{2^k - 1}{2^k} $$