Me gusta bastante su caracterización parcial de la traza!
Creo que ustedes perciben un conflicto con la definición de Wikipedia, ya que sólo están tomando parte de la segunda: dado un operador $T\in L(V\otimes W)$, el requisito de que su parciales de seguimiento obedecer
$$\text{Tr}_W(T)\in L(V)$$
simplemente dice que el parcial traza $W$ ser un operador de referencia en $V$, pero eso no quiere decir que el operador. (La especificación de que se realiza en un plano más concreto, base-dependiente de la forma.)
Para obtener el primer resultado que te confunden, $\langle k |R|l\rangle=\text{Tr}(|l\rangle\langle k|R)$ para algunos operador $R$, simplemente tome la traza en la misma base ortogonal donde $|k\rangle$ $|l\rangle$ vino de:
$$
\text{Tr}(|l\rangle\langle k|R)=\sum_j \langle j|l\rangle\langle k|R|j\rangle
=\sum_j \langle k|R|j\rangle\langle j|l\rangle
=\langle k|R|l\rangle.
$$
Ahora, si usted toma el $R=R_B=\text{Tr}_A(R_{AB})$, los elementos de la matriz de este parciales de seguimiento en el$B$, son, a partir de lo anterior,
$$
\langle k|R_B|l\rangle=\text{Tr}_B(|l\rangle\langle k|R_B)=\text{Tr}_{AB}((\mathbb I\otimes|l\rangle\langle k|)R_{AB}),
$$
donde la segunda igualdad es simplemente la definición fundamental de los parciales de seguimiento, como usted formulado.
Ahora, puedo entender que si todo esto simplemente se ve complicado, y no da ninguna idea de lo que está pasando - a pesar de que simplemente significa que usted necesita para mirar más de cerca lo que su definición fundamental está diciendo.
Decir que tengo un sistema bipartito $A\leftrightarrow B$, lo que puede ser inicialmente enredado, y luego me olvido completamente el $A$ parte del sistema. Por lo tanto, necesito cambiar mi completo (posiblemente enredados), la densidad de la matriz $\rho_{AB}$ para que yo pueda tratar de forma local: una matriz de densidad de $\rho_B$ que actúa sólo en el $B$ lado, que me permite actuar con operadores en $L(H_B)$, y que puedo tomar la $B$ de seguimiento. Es decir, tengo que ser capaz de hablar de el objeto
$$\text{Tr}(L_B\rho_B),$$
y ese objeto que encarna todo lo que necesito para hacer predicciones.
Sin embargo, en términos de la totalidad del sistema, el estado es $\rho_{AB}$, cuando yo operar en él realmente estoy utilizando el operador $\mathbb I\otimes L_B$, y cuando me tome la traza estoy realmente tomar el seguimiento completo $\text{Tr}_{AB}$ en todo el espacio.
Desde ambos puntos de vista deben coincidir, estos objetos deben obedecer
$$
\text{Tr}(L_B\rho_B)=\text{Tr}_{AB}((\mathbb I\otimes L_B)\rho_{AB}),
\etiqueta{1}
$$
y esta ecuación es simplemente un requisito en el solo libre de objetos que tenemos, $\rho_B$, lo que llamamos el parcial traza $\rho_B:=\text{Tr}_A(\rho_{AB})$. Como sucede, que requieren $\text{Tr}_A$ a obedecer a este para todos los $L_B\in L(H_B)$ $\rho_{AB}\in L(H_A\otimes H_B)$ * es suficiente para determinar de forma única, por lo que el requisito puede actuar como una definición (aunque, por supuesto, usted puede tener más simples definiciones basadas en explícito base dependientes de fórmulas).
* Tenga en cuenta que estoy tomando $\rho_{AB}$ a ser un operador general, en lugar de sólo una matriz de densidad, ya que queremos ser capaces de actuar en $\rho_{AB}$ el uso de enredo o de la correlación de las mediciones antes de que nos olvidamos de $B$. Sin embargo, que requiere (1) para todos los $L_B\in L(H_B)$ y sólo los $\rho_{AB}\in L(H_A\otimes H_B)$ tal que $\rho_{AB}\geq 0$ $\text{Tr}_{AB}(\rho_{AB})=1$ es suficiente para determinar el $\text{Tr}_A$ únicamente por la linealidad, como cualquier operador $R=R_{AB}$ puede ser descompuesto en positivo-definida, de traza-uno de los operadores de $R_k$$R=r_1 R_1+ir_2R_2-r_3R_3-ir_4R_4$, con cada una de las $r_k\geq0$, tomando positivos y negativos partes de su hermitian y antihermtian partes.
